Polynomdivisjon

Polynomdivisjon kan blant annet brukes til å faktorisere og forenkle et brøkuttrykk.

Nedenfor følger et eksempel på polynomdivisjon.

Eksempel 1

<math>(8x^4+10x^3+3x^2+2x+1):(2x+1)=</math>

Tanken er som følger: Hva må 2x multipliseres med for at vi skal få 8x⁴? Svaret er 4x³ som skrives på høyre side av likhetstegnet. 4x³ må også multipliseres med 1.

<math>(8x^4+10x^3+3x^2+2x+1):(2x+1)= 4x^3 \\ 8x^4+4x^3 \qquad\qquad \qquad </math>

Man trekker fra som ved vanlig divisjon og får:

<math>\qquad (8x^4+10x^3+3x^2+2x+1):(2x+1)= 4x^3 \\ -(8x^4+4x^3) \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 6x^3+3x^2+2x+1 \\ \qquad\qquad \qquad

</math>

Slik fortsetter man og får:

<math>\qquad (8x^4+10x^3+3x^2+2x+1):(2x+1)= 4x^3 +3x^2 + 1\\ -(8x^4+4x^3) \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad6x^3+3x^2+2x+1 \\ \qquad\qquad\qquad\qquad-(6x^3+3x^2) \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 2x + 1 \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad -(2x + 1) \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 0 \\

</math>

I dette tilfellet ble resten null. De betyr at divisjonen gikk opp.

La oss se på et eksempel der divisjonen ikke går opp. Det betyr at man får en rest.

Eksempel 2

<math>\qquad(t^3 - 4t^2 - 8t + 13):(t-1)= t^2 -3t - 11 + \frac{2}{t-1} \\ -(t^3-t^2) \\ \qquad\qquad\qquad -3t^2 - 8t + 13 \\ \qquad\qquad -(-3t^2 + 3t) \\ \qquad\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad-11t + 13 \\ \qquad\qquad \qquad\qquad\qquad-(-11t + 11) \\

\qquad\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \qquad \qquad \qquad\qquad2 \\</math>

Resten i dette eksempelet blir 2. Nedenfor ser du funksjonen til <math>f(t) = \frac{t^3 - 4t^2 - 8t + 13}{t-1}</math>. Man observerer at

<math>g(t) = t^2-3t-11</math> er en asymptote til f(t). I tillegg er t = 1 en vertikal asymptote til f. Grafen til g er stiplet rød.

<math>\frac{P(x)}{Q(x)}</math>

Både P og Q er polynomer. Når man utfører divisjonen blir resten av lavere grad enn Q.

Når man dividerer polynomet P(x) med <math>(x-x_0)</math> blir resten <math> r= P(x_0) </math>

P(x) er et polynom. Dersom P(x) har faktoren <math>(x-x_0) \Leftrightarrow P(x_0)=0</math>

P(x) er et polynom. Dersom divisjonen <math> P(x):(x-x_0)</math> går opp <math> \Leftrightarrow P(x_0) = 0</math>

Eksempel 3

Er (x+1) en faktor i polynomet<math>P(x) = 2x^3-2x^2-3x+1</math> ?

Da må P(-1)= 0

Man får - 2 - 2 + 3 + 1 = 0

(x+1) er en faktor i P

Det betyr også at divisjonen P:(x+1) går opp.

---