1T 2018 vår LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner
(29 mellomliggende sideversjoner av samme bruker vises ikke) | |||
Linje 62: | Linje 62: | ||
===Oppgave 8=== | ===Oppgave 8=== | ||
Bruker abc-formelen | Bruker abc-formelen $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2- 4ac}}{2a}$ for å finne funksjonens nullpunkter, a=1, b=k, c=4. | ||
$ x^2 +kx + 4 = 0 \ x = \frac{-k \pm \sqrt{k^2- 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} \ x = \frac{-k \pm \sqrt{k^2- 16}}{2} $ | |||
Dersom likningen er uløselig, har grafen til f ingen skjæringspunkter med x-aksen (dvs. ingen nullpunkter). Dette skjer dersom verdien under kvadratroten er negativ, siden kvadratroten av et negativt tall ikke gir noen reelle løsninger. | Dersom likningen er uløselig, har grafen til f ingen skjæringspunkter med x-aksen (dvs. ingen nullpunkter). Dette skjer dersom verdien under kvadratroten er negativ, siden kvadratroten av et negativt tall ikke gir noen reelle løsninger. | ||
Linje 104: | Linje 104: | ||
Gjennomsnittlig vekstfart | Gjennomsnittlig vekstfart | ||
$x_1=-2 | $x_1=-2 \ x_2=2 \ y_1=f(-2)=(-2)^3+2\cdot(-2)^2+1=-8+8+1=1 \ y_2=f(2)=2^3+2\cdot2^2+1=8+8+1=17$ | ||
Linje 162: | Linje 156: | ||
===b)=== | ===b)=== | ||
I en rettvinklet trekant er | I en rettvinklet trekant er $sin\,v = \frac{motstående\,katet}{hypotenus}$ | ||
$sin\,60° = \frac{DC}{AC} \ sin\,60° = \frac{\frac{s \sqrt{3}}{2}}{s} \ sin\,60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ | |||
===c)=== | ===c)=== | ||
Vi finner høyden SR til | Vi finner høyden SR til | ||
$sin | $sin\,v = \frac{motstående\,katet}{hypotenus} \ sin\,60° = \frac{SR}{PR} \ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{SR}{2\sqrt{3}} \ SR = \frac{\sqrt{3}\sqrt{3}\cdot2}{2} \ SR = 3$ | ||
Vi kan nå bestemme arealet til | Vi kan nå bestemme arealet til | ||
Linje 182: | Linje 176: | ||
Vi begynner med å finne lengden av PS. Siden | Vi begynner med å finne lengden av PS. Siden | ||
Vi kan nå finne | Vi kan nå finne | ||
$ | $tan\,Q = \frac{SR}{SQ} \ tan\,Q = \frac{3}{PQ-PS} \ tan\,Q = \frac{3}{8-\sqrt{3}}$ | ||
===Oppgave 13=== | ===Oppgave 13=== | ||
Linje 216: | Linje 210: | ||
Bruker Geogebra. | Bruker Geogebra. | ||
[[File: | [[File:1a3.jpg]] | ||
===b)=== | ===b)=== | ||
Linje 246: | Linje 240: | ||
===b)=== | ===b)=== | ||
P(karaktersnitt over 4) | P(karaktersnitt over 4) | ||
Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev har et karaktersnitt over fire er 0,45, altså 45%. | |||
===c)=== | ===c)=== | ||
P(elev som har karaktersnitt over 4 legger seg før kl.23) | |||
Sannsynligheten for at en elev som har et karaktersnitt over fire, også legger seg før kl.23 er ca. 0,444, altså 44,4%. | |||
===Oppgave 3=== | ===Oppgave 3=== | ||
Linje 261: | Linje 262: | ||
===a)=== | ===a)=== | ||
I en rettvinklet trekant har vi at | |||
Vi kan derfor bruke | |||
Vi kan også bruke | |||
===b)=== | ===b)=== | ||
Vi begynner med å utrykke | |||
Vi kan derfor bruke | |||
Vi kan bruke | |||
Med dette og resultatet fra oppgave a) har vi vist at Marias uttrykk for arealet av | |||
===c)=== | ===c)=== | ||
Vi setter de to uttrykkene for arealtet av trekanten lik hverandre. | |||
Ganger alle ledd på begge sidene av likningen med 2. | |||
Deler alle ledd på begge sidene av likningen på | |||
===Oppgave 5=== | ===Oppgave 5=== | ||
===a)=== | ===a)=== | ||
To linjer er parallelle dersom de har samme stigningstall. Vi må derfor vise at at tangenten til grafen til | |||
Stigningstallet til tangenten til grafen til | |||
Stigningstallet til linjen som går gjennom punktene | |||
Linjene har samme stigningstall og er derfor parallelle. | |||
===b)=== | ===b)=== | ||
Stigningstallet til tangenten til en graf et punkt tilsvarer den deriverte av funksjonen i dette punktet. Bruker CAS i Geogebra til å finne | |||
[[File:6b.jpg]] | |||
Stigningstallet er | |||
===c)=== | ===c)=== | ||
To linjer er parallelle dersom de har samme stigningstall. Vi må vi vise at linjen gjennom punktene | |||
Vi bruker formelen | |||
[[File:6c.jpg]] | |||
Vi ser at de to linjene har samme stigningstall, og derfor er de parallelle. |
Siste sideversjon per 27. des. 2018 kl. 10:49
Diskusjon av oppgaven på matteprat
DEL EN
Oppgave 1
Ganger første likning med -2 for å bruke addisjon, slik at y forsvinner.
Legger likningen sammen og får
Setter x = 2 inn i første likning og får at y er:
Løsning:
Oppgave 2
Oppgave 3
Oppgave 4
Oppgave 5
Oppgave 6
a)
b)
Oppgave 7
Oppgave 8
Bruker abc-formelen
Dersom likningen er uløselig, har grafen til f ingen skjæringspunkter med x-aksen (dvs. ingen nullpunkter). Dette skjer dersom verdien under kvadratroten er negativ, siden kvadratroten av et negativt tall ikke gir noen reelle løsninger.
Dersom verdien under kvadratroten er 0, får likningen bare én løsning, og grafen til f bare ett skjæringspunkt med x-aksen (dvs. ett nullpunkt).
Dersom verdien under kvadratroten er positiv, får likningen to løsninger, og grafen til f to skjæringspunkter med x-aksen (dvs. to nullpunkt).
Vi løser likningen
Vi ser at grafen til f har
Oppgave 9
a)
b)
Oppgave 10
a)
Gjennomsnittlig vekstfart
Den gjennomsnittlige vekstfarten til f i intervallet [-2,2] er 4.
b)
Likning for tangenten i et punkt
Likning for tangenten til grafen til f i punktet
Oppgave 11
Når man kaster to terninger er det
Utfallsrom for at terningene viser samme antall øyne:
Sannsyngliheten for at terningne viser samme antall øyne er
Utfallsrom for at summen av antall øyne er 5 eller mindre:
Sannsyngliheten for at summen av antall øyne er 5 eller mindre er
Det er altså alternativ 2, "summen av antall øyne er 5 eller mindre", som er mest sannsynlig.
Oppgave 12
a)
Bruker Pytagorassetningen til å finne lengden av DC.
b)
I en rettvinklet trekant er
c)
Vi finner høyden SR til
Vi kan nå bestemme arealet til
Du kan også bestemme arealet til
d)
Vi begynner med å finne lengden av PS. Siden
Vi kan nå finne
Oppgave 13
Graf E er grafen til funksjonen p, fordi p er den eneste funksjonen hvor konstantleddet er 0. Dersom konstantleddet til en funksjon er null, vil grafen skjære y-aksen i origo, og graf E er derfor den eneste som passer.
Graf F er grafen til funksjonen r, fordi r er den eneste funksjonen med negativ koeffisient i andregradsleddet. Grafen til en andregradsfunksjon med negativt andregradsledd vil alltid bue nedover ("surt fjes"), og graf F er derfor den eneste som passer.
Funksjonene q og s har begge konstantleddet -2, dvs. at skjæringspunktet med y-aksen er i y=-2. Graf A og B passer ikke til det, og vi sitter igjen med graf C og D. Disse er ganske like, men har bunnpunktet på forskjellig sted. Vi kan finne x-verdien til bunnpunktet for begge funksjonene.
Setter
Setter
Vi ser at graf D er grafen til funksjonen s, fordi den har bunnpunktet i x=1.
Graf C er grafen til funksjonen q, fordi den har bunnpunktet i x=-1.
Du kan også finne de riktige grafene til funksjonene q og s ved å finne symmetrilinja x til funksjonene, ved hjelp av formelen
DEL 2
Oppgave 1
a)
Bruker Geogebra.
b)
c)
Lager linja y=16. Bruker skjæring mellom to objekter for å finne skjæringspunktet med grafen til funksjonen
Isen kostet 16 kr 34 år etter 1970, det vil si i 2004.
d)
1975 er 5 år etter 1970, og 2015 er 45 år etter 1970. Lager derfor punkt B=(5,f(5)) og C=(45,f(45)). Lager en linje mellom punkt B og C, og finner linjens stigning,
Prisen for en kroneis har steget i gjennomsnitt med 0.53 kr per år fra 1975 til 2015.
Oppgave 2
a)
b)
P(karaktersnitt over 4)
Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev har et karaktersnitt over fire er 0,45, altså 45%.
c)
P(elev som har karaktersnitt over 4 legger seg før kl.23)
Sannsynligheten for at en elev som har et karaktersnitt over fire, også legger seg før kl.23 er ca. 0,444, altså 44,4%.
Oppgave 3
Siden summen av vinklene i en trekant er 180°, er den siste vinkelen i trekanten
Bruker videre sinussetningen
Oppgave 4
a)
I en rettvinklet trekant har vi at
Vi kan derfor bruke
Vi kan også bruke
b)
Vi begynner med å utrykke
Vi kan derfor bruke
Vi kan bruke
Med dette og resultatet fra oppgave a) har vi vist at Marias uttrykk for arealet av
c)
Vi setter de to uttrykkene for arealtet av trekanten lik hverandre.
Ganger alle ledd på begge sidene av likningen med 2.
Deler alle ledd på begge sidene av likningen på
Oppgave 5
a)
To linjer er parallelle dersom de har samme stigningstall. Vi må derfor vise at at tangenten til grafen til
Stigningstallet til tangenten til grafen til
Stigningstallet til linjen som går gjennom punktene
Linjene har samme stigningstall og er derfor parallelle.
b)
Stigningstallet til tangenten til en graf et punkt tilsvarer den deriverte av funksjonen i dette punktet. Bruker CAS i Geogebra til å finne
Stigningstallet er
c)
To linjer er parallelle dersom de har samme stigningstall. Vi må vi vise at linjen gjennom punktene
Vi bruker formelen
Vi ser at de to linjene har samme stigningstall, og derfor er de parallelle.