R1 2016 høst LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
mIngen redigeringsforklaring
 
(22 mellomliggende versjoner av 2 brukere er ikke vist)
Linje 1: Linje 1:
[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1333 Løsning laget av mattepratbruker DennisChristensen]
[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1333 Løsning laget av Dennis Christensen]


[http://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=44289 Diskusjon av og delvis løsning på denne oppgaven]
[http://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=44289 Diskusjon av og delvis løsning på denne oppgaven]
Linje 20: Linje 20:
===c)===
===c)===


$h(x)=\frac {e^{2x}}{x-3} \ h'(x)= \frac{2e^{2x} (x-3)- e^{2x}}{(x-3)^2} = \frac{(2x+7)e^{2x}}{(x-3)^2}$
$h(x)=\frac {e^{2x}}{x-3} \ h'(x)= \frac{2e^{2x} (x-3)- e^{2x}}{(x-3)^2} = \frac{(2x-7)e^{2x}}{(x-3)^2}$


==Oppgave 2==
==Oppgave 2==
Linje 48: Linje 48:


===b)===
===b)===
2x+10x225+xx+5=42x102(2x+10)+2x(x5)=4(x+5)4x+20+2x210x=4x+202x210x=0x=02x10=0x=0x=5
$\frac{2x+10}{x^2-25} + \frac{x}{x+5} = \frac{4}{2x-10} \ 2(2x+10) + 2x(x-5) = 4(x+5) \ 4x+20+2x^2-10x = 4x + 20 \2x^2-10x=0 \ x=0 \vee 2x-10=0 \ x= 0 \vee x= 5$




Linje 66: Linje 66:
===a)===
===a)===


$2^{3x-2} - 13 = 3 \ 2^{3x-2} = 2^4 \ 3x-2 = 4 \ 3x=6 \ x=3$
$2^{3x-2} - 13 = 3 \ 2^{3x-2} = 2^4 \ 3x-2 = 4 \ 3x=6 \ x=2$


===b)===
===b)===
Linje 78: Linje 78:
===a)===
===a)===


[ 1, 1] er paralell med AB vektor:
[ 1, 1] er parallell med AB vektor:




Linje 109: Linje 109:
P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)P(D)=130,04+230,01=0,06:3=0,02  
P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)P(D)=130,04+230,01=0,06:3=0,02  


Det er 2% sannsynlig at nøkkelen er deffekt.
Det er 2% sannsynlig at nøkkelen er defekt.


===b)===
===b)===
Linje 124: Linje 124:
PCB er likebeint, derfor er PCB=v
PCB er likebeint, derfor er PCB=v


PCE er 90 grader fordi toppunktet ligger på pereferien og den spenner over 180 grader av sirkelsektoren.
PCE er 90 grader fordi toppunktet ligger på periferien og den spenner over 180 grader av sirkelsektoren.


ABC er også 90 grader, derfor må ACE=v.
ABC er også 90 grader, derfor må ACE=v.


A er felles i begge tekantene og ACE=PCB=v, derfor er trekantene formlike.
A er felles i begge trekantene og ACE=PCB=v, derfor er trekantene formlike.


===b)===
===b)===
Linje 136: Linje 136:
===c)===
===c)===


Forholdet mellom sammsvarende sider i formlike trekanter er likt.
Forholdet mellom samsvarende sider i formlike trekanter er likt.


APAC=ACAEc+ab=bca
APAC=ACAEc+ab=bca
Linje 156: Linje 156:


===a)===
===a)===
(347)=34C7=5379616


===b)===
===b)===


Hypergeometrisk situasjon:
P (nøyaktig fem rette) =(75)(272)(347)0,0014 , eller 0,14% sannsynlig.


===c)===
===c)===
Sannsynligheten for at de tre siste tallene går inn er:
=(33)(270)(303)0,0002 , eller 0,02%.


==Oppgave 2==
==Oppgave 2==
Linje 191: Linje 202:
Fra ungdomsskolen: s=vtt=sv
Fra ungdomsskolen: s=vtt=sv


x er lengden langs veien og 5 er farten langs veien. Tidsforbruk langs vei: tv(x)=x5 Rotuttrykket i andre ledd er lengden av hypotenusen BH (altså lengden hun beveger seg i terenget), uttrykt ved katetene i den rettvinklede trekanten BCH. 3 er farten i terenget. Derav uttrykket.
x er lengden langs veien og 5 er farten langs veien. Tidsforbruk langs vei: tv(x)=x5 Rotuttrykket i andre ledd er lengden av hypotenusen BH (altså lengden hun beveger seg i terrenget), uttrykt ved katetene i den rettvinklede trekanten BCH. 3 er farten i terrenget. Derav uttrykket.


===b)===
===b)===
Linje 212: Linje 223:
Når t =1
Når t =1


$  Posisjon:\quad \vec r(1)= [1^3-3 \cdot 1+3, 1-1] = [1,0]  \ Banefart: | \vec v(1)| = [3 \cdot 1^2-3,1] = |[0,1]| = 1 \ Akslerasjon:| \vec a(1)|=  =| [6 \cdot 1, 0]| =6 $
$  Posisjon:\quad \vec r(1)= [1^3-3 \cdot 1+3, 1-1] = [1,0]  \ Banefart: | \vec v(1)| = [3 \cdot 1^2-3,1] = |[0,1]| = 1 \ Akselerasjon:| \vec a(1)|=  =| [6 \cdot 1, 0]| =6 $




Når t = 1 er posisjonen (1,0), banefarten lik 1 og akslerasjonen lik 6.
Når t = 1 er posisjonen (1,0), banefarten lik 1 og akselerasjonen lik 6.


===c)===
===c)===
Fartsvektor parallell med y aksen:
v(t)||[0,1][3t23]=k[0,1]3t23=0t2=1t=±1
Setter t verdiene inn i posisjonsvektoren:
t = 1 har vi fra b : [1,0]
t = -1 gir oss [1+3+3,2]=[5,2]


==Oppgave 5==
==Oppgave 5==


[[File:r1-h2016-2-5.png]]
[[File:r1-h2016-2-5.png]]
Skjæring mellom parabel og sirkel (sentrum i origo og radius fem) gir de fire punktene vist over.

Siste sideversjon per 26. nov. 2017 kl. 16:56

Løsning laget av Dennis Christensen

Diskusjon av og delvis løsning på denne oppgaven


DEL EN

Oppgave 1

a)

f(x)=2x25x6f(x)=4x5


b)

g(x)=xlnxg(x)=lnx+x1x=lnx+1


c)

h(x)=e2xx3h(x)=2e2x(x3)e2x(x3)2=(2x7)e2x(x3)2

Oppgave 2

a)

f(x)=0(x+1)2(x2)x=1x=2

Nullpunkter: (-1, 0) og (2, 0)

b)

f(x)=0f(x)=2(x+1)(x2)+(x+1)2=(x+1)(3x3)x=1x=1

f'(-2) > 0, f'(0) < 0 og f'(2) > 0 gir toppunkt i ( -1, 0) og minimum for (1,-4 ).

c)

Oppgave 3

a)

2x+10x225+xx+542x10=2x+10(x+5)(x5)+xx+542(x5)=4x+20+2x(x5)4(x+5)2(x+5)(x5)=2x(x5)2(x+5)(x5)=xx+5

b)

2x+10x225+xx+5=42x102(2x+10)+2x(x5)=4(x+5)4x+20+2x210x=4x+202x210x=0x=02x10=0x=0x=5


Må forkaste x = 5, da det gir null i nevner.

L={ 0 }

En mere elegant og tidsbesparende løsning er å løse svaret fra a lik null:

xx+5=0

som gir x=0 direkte.

Oppgave 4

a)

23x213=323x2=243x2=43x=6x=2

b)

(lgx)2+lgx2=0u=lgxu2+u2=0ABCformelu=2u=1lgx=2lgx=1x=0,01x=10

Oppgave 5

a)

[ 1, 1] er parallell med AB vektor:


[x=4+ty=5+t]

b)

Skjærer x - aksen betyr at y = 0. Da må t være - 5.

Da blir x = -9

D ( -9, 0)

c)

[1,1][3+4t,25t]=01t7t=0t=3x=7y=2

E ( -7, 2)

Oppgave 6

a)

P(D|A)=0,04P(D|B)=0,01P(A)=13P(B)=23

Total sannsynlighet for defekt nøkkel

P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)P(D)=130,04+230,01=0,06:3=0,02

Det er 2% sannsynlig at nøkkelen er defekt.

b)

P(D)P(A|D)=P(A)P(D|A)P(A|D)=P(A)P(D|A)P(D)=130,040,02=23


Det er ca. 67% sannsynlig at en defekt nøkkel kommer fra maskin A.

Oppgave 7

a)

PCB er likebeint, derfor er PCB=v

PCE er 90 grader fordi toppunktet ligger på periferien og den spenner over 180 grader av sirkelsektoren.

ABC er også 90 grader, derfor må ACE=v.

A er felles i begge trekantene og ACE=PCB=v, derfor er trekantene formlike.

b)

AB=c,EB=aAE=ABEB=caBP=a,AB=cAP=AB+BP=c+a

c)

Forholdet mellom samsvarende sider i formlike trekanter er likt.

APAC=ACAEc+ab=bca

d)

c+ab=bca(c+a)=b2ca(c+a)(ca)=b2c2ab+aba2=b2a2+b2=c2

Oppgave 8

(ii) er grafen til funksjonen. Den har minimumspunkt for x=0 og vender sin hule side opp hele tiden, dvs. ingen vendepunkter.

(i) er grafen til f'(x). Den er null origo når f(x) har et minimum. (iii) er grafen til den dobbeltderiverte.

DEL TO

Oppgave 1

a)

(347)=34C7=5379616

b)

Hypergeometrisk situasjon:

P (nøyaktig fem rette) =(75)(272)(347)0,0014 , eller 0,14% sannsynlig.

c)

Sannsynligheten for at de tre siste tallene går inn er:

=(33)(270)(303)0,0002 , eller 0,02%.

Oppgave 2

a)

Sirkel C1 Sentrum: S1(5,0) , Radius: r1=80=45

Sirkel C2 x210x+y2+5=0x210x+52+y2+5=52(x5)2+y2=20Sentrum:S2(5,0)Radius:r2=20=25

b)


Skjæringspunktene er ( 3, 4 ) og ( 3, -4 ).

c)

Dersom ortogonale er skalarproduktet mellom vektorene null.

ACCB=0[8,4][2,4]=16+(16)=0

Sirklene er ortogonale.

Oppgave 3

a)

Fra ungdomsskolen: s=vtt=sv

x er lengden langs veien og 5 er farten langs veien. Tidsforbruk langs vei: tv(x)=x5 Rotuttrykket i andre ledd er lengden av hypotenusen BH (altså lengden hun beveger seg i terrenget), uttrykt ved katetene i den rettvinklede trekanten BCH. 3 er farten i terrenget. Derav uttrykket.

b)


Vi ser at hun bruker kortest tid om hun skjærer av vegen etter 3,5 km. Hun bruker da 1,53 timer, eller 1 time 31 minutter og 48 sekunder, for å være nøyaktig.

Oppgave 4

a)

b)

r(t)=[t33t+3,t1]2x2v(t)=r(t)=[3t23,1]a(t)=r(t)=[6t,0]

Når t =1

Posisjon:r(1)=[1331+3,11]=[1,0]Banefart:|v(1)|=[3123,1]=|[0,1]|=1Akselerasjon:|a(1)|==|[61,0]|=6


Når t = 1 er posisjonen (1,0), banefarten lik 1 og akselerasjonen lik 6.

c)

Fartsvektor parallell med y aksen:

v(t)||[0,1][3t23]=k[0,1]3t23=0t2=1t=±1

Setter t verdiene inn i posisjonsvektoren:

t = 1 har vi fra b : [1,0]

t = -1 gir oss [1+3+3,2]=[5,2]

Oppgave 5


Skjæring mellom parabel og sirkel (sentrum i origo og radius fem) gir de fire punktene vist over.