Forskjell mellom versjoner av «Integrasjon - R2»
Linje 2: | Linje 2: | ||
− | $ 1) \quad $$\int{tan( x)}dx $ | + | ==$ 1) \quad $$\int{tan( x)}dx $ == |
Linje 18: | Linje 18: | ||
::<math>I=-\ln|cos\,x|+C</math> | ::<math>I=-\ln|cos\,x|+C</math> | ||
− | $ 2) \quad$$\int{tan^2 (x)} dx $ | + | ==$ 2) \quad$$\int{tan^2 (x)} dx $ == |
Bruker resultatet fra derivasjonen av tan(x): | Bruker resultatet fra derivasjonen av tan(x): | ||
Linje 28: | Linje 28: | ||
$ 4) \quad$$\int{cos^2 (x)} dx $ | $ 4) \quad$$\int{cos^2 (x)} dx $ | ||
− | $ 5) \quad$$\int{sin^2 (x)} dx $ | + | ==$ 5) \quad$$\int{sin^2 (x)} dx $== |
+ | |||
+ | <math> \int sin^2x dx = \int (sinx \cdot sinx) dx \\ = sinx \cdot (-cosx) - \int cosx \cdot (-cosx)dx \\ | ||
+ | = - sinx cosx + \int (1-sin^2x) dx \\ = - sinx cosx + x - \int sin^2x dx</math><p></p> | ||
+ | Da har man:<p></p> | ||
+ | <math> \int sin^2x dx = - sinx cosx + x - \int sin^2x dx \\ | ||
+ | 2\int sin^2x dx = - sinx cosx + x \\ | ||
+ | \int sin^2x dx = - \frac12 (sinx cosx - x) + C | ||
+ | </math><p></p> </blockquote> | ||
$ 6) \quad$$\int{ x^2e^x} dx $ | $ 6) \quad$$\int{ x^2e^x} dx $ |
Revisjonen fra 2. okt. 2017 kl. 21:57
Nedenfor følger en del sentrale ubestemte integraler som er aktuelle for VG 3 - R2.
$ 1) \quad $$\int{tan( x)}dx $
Vi vet at $\tan\,x=\frac{sin\,x}{\cos\,x}$ og at $\frac{d}{dx}\sin\,x=\cos\,x$, si vi setter $u=\cos\,x$:
- <math>u=\cos\,x\,\Rightarrow\,\rm{d}u=-\sin\,x\rm{d}x</math>
- Vi setter inn i integralet og får
- <math>I=\int -\frac{1}{u}\rm{d}u=-\ln|u|+C</math>
- Vi kan nå erstatte u med x igjen får å få svaret vårt:
- <math>I=-\ln|cos\,x|+C</math>
$ 2) \quad$$\int{tan^2 (x)} dx $
Bruker resultatet fra derivasjonen av tan(x):
$( tan(x) )' = tan^2(x) + 1 \\ tan^2(x)= (tan(x))' - 1 \\ \int $
$ 3) \quad$$\int{ln (x)} dx $
$ 4) \quad$$\int{cos^2 (x)} dx $
$ 5) \quad$$\int{sin^2 (x)} dx $
<math> \int sin^2x dx = \int (sinx \cdot sinx) dx \\ = sinx \cdot (-cosx) - \int cosx \cdot (-cosx)dx \\
= - sinx cosx + \int (1-sin^2x) dx \\ = - sinx cosx + x - \int sin^2x dx</math>
Da har man:
<math> \int sin^2x dx = - sinx cosx + x - \int sin^2x dx \\ 2\int sin^2x dx = - sinx cosx + x \\ \int sin^2x dx = - \frac12 (sinx cosx - x) + C
</math>
$ 6) \quad$$\int{ x^2e^x} dx $