|
|
| (2 mellomliggende sideversjoner av samme bruker vises ikke) |
| Linje 1: |
Linje 1: |
| == Innledning ==
| |
| For å løse logaritmelikningene i 1T kurset må du kunne litt om logaritmer. Nedenfor finner du de du må beherske. Dersom du ønsker å vite mer finner du det i R1 kurset under [[logaritmer]].
| |
|
| |
|
| ----
| |
|
| |
| Logaritmen til et tall x med basis b er definert som den inverse funksjonen til <tex>b^x</tex> (b opphøyd i x). En logaritme kan ha forskjellige basiser eller grunntall (større enn null og ikke lik en). Det vanligste grunntallet for en logaritme er 10 og betegnelsen er log eller lg.(Den [[naturlige logaritmen ln]] har [[grunntall e]] og behandles separat.) Dersom andre grunntall brukes er det spesifisert, for eksempel dersom grunntallet er 2 skrives det slik: <tex>log_2 x</tex>.<br><br>
| |
| Logaritmer av forskjellige basiser er relatert ved at
| |
| :<tex>\log_na=\frac{\log_ma}{\log_mn}</tex>
| |
|
| |
| Logaritmer med grunntall 10 kalles den briggske logaritmen , etter matematikeren Henry Briggs. Vi har følgende definisjon:<br>
| |
|
| |
| <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
| |
| <tex>10^{log a} = a </tex><br><br>
| |
| <tex>log 1000 = 3\qquad \text{fordi} \qquad 10^3 = 1000 </tex><br><br>
| |
| <tex>log 1 = 0 \qquad \text{fordi} \qquad 10^0 = 1 </tex><br><br>
| |
| <tex>log 0,01 = -2 \qquad \text{fordi} \qquad 10^{-2} = 0,01 </tex><br><br>
| |
|
| |
| Man kan ikke ta logaritmen til et negativt tall.
| |
| </blockquote>
| |
|
| |
|
| |
|
| |
|
| |
| ===Logaritmen av en potens===
| |
|
| |
|
| |
|
| |
| <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
| |
| <tex> log a^x = x \cdot log a </tex>
| |
|
| |
| </blockquote>
| |
| <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
| |
| <tex> log 100^{24} = 24 \cdot log 100 =24 \cdot 2 = 48 </tex>
| |
|
| |
| </blockquote>
| |
|
| |
|
| |
| [http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=85F%2B860%2B861%2B862%2B863%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]
| |
|
| |
| == Logaritmelikninger ==
| |
|
| |
| Så langt har vi befattet oss med ligninger der den ukjente er grunntallet. Dersom den ukjente er i eksponenten får vi ligninger av typen:
| |
| <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
| |
| <tex>m \cdot a^x = n</tex> <br><br>
| |
| der a, m og n er tall. <br><br>
| |
|
| |
| Ligningen løses på følgende måte: <br><br>
| |
| <tex> a^x = \frac nm</tex> <br><br>
| |
| <tex> log(a^x) = log(\frac nm)</tex> <br><br>
| |
| <tex> x \cdot loga = log(\frac nm)</tex> <br><br>
| |
| <tex> x = \frac{log(\frac nm)}{log a}</tex> <br><br>
| |
| </blockquote>
| |
|
| |
|
| |
| <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
| |
|
| |
| '''Eksempel'''<br><br>
| |
|
| |
| <tex>0,23 \cdot 3^x = 5</tex> <br><br>
| |
| <tex> 3^x = \frac {5}{0,23} </tex> <br><br>
| |
| <tex> log(3^x) = log(\frac {5}{0,23}) </tex> <br><br>
| |
| <tex> x \cdot log3 = log 21,74</tex> <br><br>
| |
| <tex> x = \frac{log 21,74}{log 3}</tex> <br><br>
| |
| <tex> x = \frac{1,34}{0,48}</tex> <br><br>
| |
| <tex> x = 2,79</tex> <br><br>
| |
|
| |
| </blockquote><br><br>
| |
|
| |
| <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
| |
|
| |
| '''Eksempel'''<br><br>
| |
|
| |
| Du setter 5000 kroner i banken og får 4 prosent renter per år. Hvor mange år må pengene stå i banken før du har 25000 kroner?<br><br>
| |
|
| |
| <tex> 25000 = 5000 \cdot 1,04^x </tex> <br><br>
| |
| <tex> 1,04^x = \frac{25000}{5000}</tex> <br><br>
| |
| <tex> 1,04^x = 5</tex> <br><br>
| |
| <tex> log(1,04^x) = log 5</tex> <br><br>
| |
| <tex> x \cdot log 1,04 = log 5</tex> <br><br>
| |
| <tex> x = \frac {log 5}{log 1,04}</tex> <br><br>
| |
| <tex> x = 41</tex> <br><br>
| |
| Det tar 41 år før 5000 kroner vokser til 25000 kroner med 4 prosent renter.
| |
| </blockquote>
| |
|
| |
| <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
| |
|
| |
| '''Eksempel'''<br><br>
| |
|
| |
| Kari har 20000 kroner. Per har 40000 kroner. Kari setter sine penger i banken og får en rente på 3,5 prosent per år. Per kjøper en bil til 40000 for sine penger. Den taper seg i verdi med 9 prosent per år. Når har Karis sparepenger den samme verdi som Pers bil?<br><br>
| |
|
| |
| <tex> 20000 \cdot 1,035^x = 40000 \cdot 0,91^x </tex> <br><br>
| |
| <tex> \frac {1,035^x}{ 0,91^x}= \frac{40000}{20000}</tex> <br><br>
| |
| <tex> (\frac {1,035}{ 0,91})^x= 2 </tex> <br><br>
| |
| <tex> x log(\frac {1,035}{ 0,91})= log 2 </tex> <br><br>
| |
| <tex> x= \frac { log 2}{ log (\cdot (\frac {1,035}{ 0,91}) } </tex> <br><br>
| |
| <tex> x= 5,4 </tex> <br><br>
| |
| Det tar ca fem og et halvt år før veriden av Karis formue har samme verdi som Pers bil.
| |
| </blockquote>
| |
|
| |
|
| |
|
| |
| [http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=85F%2B860%2B861%2B862%2B863%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]
| |