Trigonometriske identiteter

Spisse vinkler

De trigonometriske funksjonene er sinus, cosinus, tangens. Vanligvis forkortes disse sin, cos, tan. For spisse vinkler defineres de trigonometriske funksjonene som forholdet mellom sidene i en rettvinklet trekant. Vi har:

DEFINISJONER

• <math>sin B = \frac ba </math>

• <math>cos B = \frac ca </math>

• <math>tan B = \frac bc = \frac{sin B}{ cos B}</math>

Enhetssirkelen - sin - cos - tan

De trigonometriske funksjonene begrenser seg ikke til spisse vinkler.

• Vi tegner en sirkel med radius 1.
• Positive vinkler kan tenkes framkommet ved en dreining mot klokken og negative vinkler fremkommer ved dreining med klokken.
• Dette kalles orienterte vinkler.
• I enhetssirkelen ser vi på orienterte vinkler med absolutte vinkelmål (radianer).

Enhetsirkelen legges med sentrum i origo i et ortonormert koordinatsystem, slik at et av vinkelbeina er sammenfallende med den positive x aksen. Det andre vinkelbeinet skjærer sirkelen i punktet (x,y). De trigonometriske funksjonene defineres som følger:

$sin (a) = y \quad \quad cos (a) = x \quad \quad tan (a) = \frac yx $

Sin og cos har begge perioden $2\pi$. Tan har perioden $\pi$.

Enhetssirkelen og dens fire kvadranter:

Sinusverdien leses på y aksen (blå) og cosinus på x - aksen grønn.

En geometrosk tolkning av tangens ser du i den røde søylen. Dersom vinkelen ligger i 1. eller 4. kvadrant er lengden av linjestykket fra (1,0) langs linjen normalt på x -aksen, til skjæring med det andre vinkelbeinet. Tillsvarende i ( -1,0) for vinkler i 2. og 3. kvadrant.

Figuren over viser fortegn på sin (x), cos( x) og tan (x) i de fire kvadrantene.

Fra enhetssirkelen ser man blant annet følgende om egenskapene til cosinus:

$v= -u \\ cos (v)= cos(-v) \\ cos (v) = cos (2 \pi - v) \\ cos v = - cos ( \pi - v)$

$cos (\alpha) = sin(\frac{\pi}{2}- \alpha) \\ sin (\alpha) = cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$

Fra enhetssirkelen ser man blant annet følgende om egenskapene til sinus:

$sin( \alpha) = - sin( - \alpha) \\ sin (\alpha) = sin (\pi- \alpha) \\ sin(\alpha) = sin(\alpha +2 \pi) \\ sin( \pi + \alpha)= sin (2\pi -\alpha)$

Identiteter

$sin^2v + cos^2v = 1\quad \quad \color{red}{(1)}$

BEVIS (1):

Relasjonen fremkommer ved å anvende Pytagoras direkte i enhetssirkelen.

Sum og differanser av vinkler

$cos(u-v) = cos(u)\cdot cos(v)+sin(u) \cdot sin(v) \quad \quad \color{red}{(2)} \quad \quad cos(u + v) = cos(u)\cdot cos(v)-sin(u)\cdot sin(v) \quad \quad \color{red}{(3)}\\ sin(u - v) = sin(u)\cdot cos(v)-cos(u)\cdot sin(v) \quad \quad \color{red}{(4)}\quad \quad sin(u + v) = sin(u)\cdot cos(v)+cos(u)\cdot sin(v)\quad \quad \color{red}{(5)}$

BEVIS (2):

Vinkelen (u-v) er vinkelen mellom vektorene $\vec{OB}$ og $\vec{OC}$ Begge disse har lengde en.

$\vec{OB}= [\cos v, \sin v] \\ \vec{OC} = [\cos u, \sin u]$

Skalarprodukt:

$ [\cos u, \sin u] \cdot [\cos v, \sin v] = 1 \cdot 1 \cdot \cos(u-v) \\ \cos(u-v) = \cos u \cos v + \sin u \sin v \quad \quad \color{red}{(2)}$

BEVIS (3):

Fra (2): Setter u = 0, cos 0 = 1 og sin 0 = 0:

$\cos(-v)= \cos v \quad \quad \color{red}{(2)}$

Bruker (1) og (2) og får:

$\cos(u-v) = \cos(u-(-v)) = \cos u \cos (-v) + \sin u \sin (-v) \quad \quad \color{red}{(1)} \ \cos(-v)= \cos v \wedge \sin(-v) = - \sin v \\ så: \\ \cos( u+v)= \cos u \cos v - \sin u \sin v \quad \quad \color{red}{(3)}$

BEVIS (5):

$sin v = cos (90 - v) \\ sin (u + v) = $

$\cos(-v)= \cos v \quad \quad \color{red}{(2)}$

Bruker (1) og (2) og får:

$\cos(u-v) = \cos(u-(-v)) = \cos u \cos (-v) + \sin u \sin (-v) \quad \quad \color{red}{(1)} \ \cos(-v)= \cos v \wedge \sin(-v) = - \sin v \\ så: \\ \cos( u+v)= \cos u \cos v - \sin u \sin v \quad \quad \color{red}{(3)}$

Dobble vinkler

$sin(2u) = 2sin(u) \cdot cos(u) \quad \quad \color{red}{(6)} \\\ cos(2u) = cos^2u - sin ^2u \quad \quad \color{red}{(7)}$

<math>\cos(2u) = cos (u+u) \\ = \cos (u) \cos (u) - \sin (u) \sin (u)= \cos^2 (u) - \sin^2 (u) </math>

$cos(2u) = 2 cos^2 -1 (u)\quad \quad \color{red}{(8)}$

$ cos(2u) = 1 - 2 sin^2 (u)\quad \quad \color{red}{(9)}$

Dersom u + v = 180° har vi at Sin v = sin u og cos v = -cos u

Fra sum til produkt

$sin u + sin v= 2 sin ( \frac{u+v}{2}) cos ( \frac{u-v}{2})\quad \quad \color{red}{(10)}$

$sin u - sin v= 2 cos ( \frac{u+v}{2}) sin ( \frac{u-v}{2})\quad \quad \color{red}{(11)}$

$cos u + cos v= 2 cos ( \frac{u+v}{2}) cos ( \frac{u-v}{2})\quad \quad \color{red}{(12)}$

$cos u - cos v= - 2 sin ( \frac{u+v}{2}) sin ( \frac{u-v}{2})\quad \quad \color{red}{(13)}$

Fra produkt til sum

$sin u sinv = \frac 12[ cos (u-v) - cos (u+v)]\quad \quad \color{red}{(14)}$

$cos u cos v = \frac 12[ cos (u-v) + cos (u+v)]\quad \quad \color{red}{(15)}$

$sin u cos v = \frac 12[ sin (u+v) + sin (u-v)]\quad \quad \color{red}{(16)}$

$cos u sinv = \frac 12[ sin (u+v) - sin (u+v)]\quad \quad \color{red}{(17)}$

Flere funksjoner

De tre funksjonene som følger er ikke pensum i R2.

$ cot (a) = \frac xy \quad \quad sec (a) = \frac 1x \quad \quad cosec (a) = \frac 1y $

De tre neste er ikke pensum, men greie å kjenne til:

• <math>cot B = \frac cb = \frac{ cos B}{sin B} = \frac {1}{tan B}</math>

• <math>sec B = \frac ac = \frac{1}{cos B}</math>

• <math>cosec B = \frac ab = \frac{1}{sin B} </math>

$tan^2v + 1 = sec^2v\quad \quad\quad \quad \color{red}{(2)} \\ cot^2v+1 = csc^2v\quad \quad \color{red}{(3)}$

Geometrisk tolkning av de trigonometriske funksjonene. Figuren nedenfor viser de forskjellige trigonometriske funksjonene inntegnet i enhetssirkelen.

Hver av de trigonometriske funksjonene uttrykt ved de andre fem.

Uttrykt ved	<math> \sin v\!</math>	<math> \cos v\!</math>	<math> \tan v!</math>	<math> \csc v\!</math>	<math> \sec v\!</math>	<math> \cot v\!</math>
<math> \sin v =\!</math>	<math> \sin v \! </math>	<math>\pm\sqrt{1 - \cos^2 v}\! </math>	<math>\pm\frac{\tan v}{\sqrt{1 + \tan^2 v}}\! </math>	<math> \frac{1}{\csc v}\! </math>	<math>\pm\frac{\sqrt{\sec^2 v - 1}}{\sec v}\! </math>	<math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 v}}\! </math>
<math> \cos v =\!</math>	<math>\pm\sqrt{1 - \sin^2 v}\! </math>	<math> \cos v\! </math>	<math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 v}}\! </math>	<math>\pm\frac{\sqrt{\csc^2 v - 1}}{\csc v}\! </math>	<math> \frac{1}{\sec v}\! </math>	<math>\pm\frac{\cot v}{\sqrt{1 + \cot^2 v}}\! </math>
<math> \tan v =\!</math>	<math>\pm\frac{\sin v}{\sqrt{1 - \sin^2 v}}\! </math>	<math>\pm\frac{\sqrt{1 - \cos^2 v}}{\cos v}\! </math>	<math> \tan v\! </math>	<math>\pm\frac{1}{\sqrt{\csc^2 v - 1}}\! </math>	<math>\pm\sqrt{\sec^2 v - 1}\! </math>	<math> \frac{1}{\cot v}\! </math>
<math> \csc v =\!</math>	<math> \frac{1}{\sin v}\! </math>	<math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 v}}\! </math>	<math>\pm\frac{\sqrt{1 + \tan^2 v}}{\tan v}\! </math>	<math> \csc v\! </math>	<math>\pm\frac{\sec v}{\sqrt{\sec^2 v - 1}}\! </math>	<math>\pm\sqrt{1 + \cot^2 v}\! </math>
<math> \sec v =\!</math>	<math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 v}}\! </math>	<math> \frac{1}{\cos v}\! </math>	<math>\pm\sqrt{1 + \tan^2 v}\! </math>	<math>\pm\frac{\csc v}{\sqrt{\csc^2 v - 1}}\! </math>	<math> \sec v\! </math>	<math>\pm\frac{\sqrt{1 + \cot^2 v}}{\cot v}\! </math>
<math> \cot v =\!</math>	<math>\pm\frac{\sqrt{1 - \sin^2 v}}{\sin v}\! </math>	<math>\pm\frac{\cos v}{\sqrt{1 - \cos^2 v}}\! </math>	<math> \frac{1}{\tan v}\! </math>	<math>\pm\sqrt{\csc^2 v - 1}\! </math>	<math>\pm\frac{1}{\sqrt{\sec^2 v - 1}}\! </math>	<math> \cot v\! </math>

Ved observasjon ser vi at fortegnet til en trigonometrisk funksjon varierer avhengig av hvilken kvadrant man befinner seg i. Nedenfor følger en oversikt.

Kvadrant	I	II	III	IV
cos	pos	neg	neg	pos
sin	pos	pos	neg	neg
tan	pos	neg	pos	neg
cot	pos	neg	pos	neg
sec	pos	neg	neg	pos
cosec	pos	pos	neg	neg

---