R1 2014 høst LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
 
(10 mellomliggende sideversjoner av samme bruker vises ikke)
Linje 24: Linje 24:
===a)===
===a)===


Her må vi prøve oss fram. Det lønner seg å begyne med det enkleste muligheter først. Man observerer at P(1) = 0 og vet da at P er delelig på (x-1):
Her må vi prøve oss fram. Det lønner seg å begynne med det enkleste muligheter først. Man observerer at P(1) = 0 og vet da at P er delelig på (x-1):


x3+x210x+8:(x1)=x2+2x8(x3x2)2x210x(2x22x)8x+8
x3+x210x+8:(x1)=x2+2x8(x3x2)2x210x(2x22x)8x+8
Linje 83: Linje 83:
===b)===
===b)===


Dersom linjen står vinkelrett på hverandre er skalarproduktet mellom rettningsvektorene lik null.
Dersom linjen står vinkelrett på hverandre er skalarproduktet mellom retningsvektorene lik null.


[1,a1][1,a2]=01+a1a2=0a1a2=1
[1,a1][1,a2]=01+a1a2=0a1a2=1
Linje 105: Linje 105:
AAEFC=(2a)2=2a2
AAEFC=(2a)2=2a2


Det store kvadratet har dobbelt så stort areale som det lille. Dett kan vi se lett ved geometriske betraktninger, siden ACD er lik BFC.
Det store kvadratet har dobbelt så stort areal som det lille. Dett kan vi se lett ved geometriske betraktninger, siden ACD er lik BFC.


===b)===
===b)===




Avsett et linjestykke AB = 10 cm. Kosntruer midtnormalen til AB, CD, slik at C ligger 5 cm under AB og D ligger 5 cm over linjestykke AB. Du har nå to diagonaler, AB og CD, begge på 10 cm. Disse utspenner et kvadrat  ABCD på 50cm2
Avsett et linjestykke AB = 10 cm. Konstruer midtnormalen til AB, CD, slik at C ligger 5 cm under AB og D ligger 5 cm over linjestykke AB. Du har nå to diagonaler, AB og CD, begge på 10 cm. Disse utspenner et kvadrat  ABCD på 50cm2


[[File:r1-h2014-17b.png]]
[[File:r1-h2014-17b.png]]
Linje 147: Linje 147:
===a)===
===a)===


Primtall er tall som kun er delleligge med seg selv og en: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, og 23.
Primtall er tall som kun er delelige med seg selv og en: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, og 23.


===b)===
===b)===


Vi har 25 tall, hvorav 9 primtall. Trkkning uten tilbakelegging. Dette er en hypergeometrisk situasjon:
Vi har 25 tall, hvorav 9 primtall. Trekkning uten tilbakelegging. Dette er en hypergeometrisk situasjon:


[[File:r1-h2014-22b.png]]
[[File:r1-h2014-22b.png]]
Linje 160: Linje 160:
===c)===
===c)===


[[File:r1-h2014-22c.png]]
[[File:r1-h2014-22c-2.png]]
 
 
Sannsynligheten for å trekke ut 3, 4 eller 5 primtall er 23%.


==Oppgave 3==
==Oppgave 3==
Linje 172: Linje 175:


===b)===
===b)===
Finner den eller de t verdier som gir skalarprodukt lik null:
AC=[t+1,t1]CB=[1t,5t](t+1)(1t)+(t1)(5t)=02t2+6t4=0t=1t=2


==Oppgave 4==
==Oppgave 4==
Linje 185: Linje 192:
Areal av alle fire trekanter: 12x4x2
Areal av alle fire trekanter: 12x4x2


Areal parallellogramm EFGH:
Areal parallellogram EFGH:


T(x)=16(12x4x2)=4x212x+16
T(x)=16(12x4x2)=4x212x+16

Siste sideversjon per 26. feb. 2016 kl. 19:13

Feil i løsningsforslag:
Del 1 2a: Snek seg inn en trykkfeil for det skal stå +2x og ikke -2x i andregradspolynomet.
Del 2 4b forsvant i farten: Løs likningen T(x)=16/2 som gir x=1 og x=2.

DEL EN

Oppgave 1

a)

f(x)=5x32x2+5f(x)=15x24x

b)

g(x)=x2exg(x)=2xex+x2ex=xex(2+x)

Oppgave 2

a)

Her må vi prøve oss fram. Det lønner seg å begynne med det enkleste muligheter først. Man observerer at P(1) = 0 og vet da at P er delelig på (x-1):

x3+x210x+8:(x1)=x2+2x8(x3x2)2x210x(2x22x)8x+8


Ved å faktorisere andregradspolynomet får man røtter for x= -4 og x =2.

P faktorisert: ( x - 1) (x - 2)(x + 4).

b)


P(x)0x∈<←,4][1,2]

Oppgave 3

a)

L=10lg(II0)L=10(lgIlgI0)L=10(lgIlg1012)L=10lgI+120

b)

L=10lgI+120L=10lg104+120L=80

Det er 80 db på arbeidsplassen.

c)

L=10lgI+12010010lgI+120lg!=2I=102

Det svarer til 102W/m2

Oppgave 4

a)

b)

f´(x)=2(x1)(2x4)(x1)2=2(x1)2

c)

f(2)=0f´(2)=2y=ax+b0=22+bb=4y=2x4

Oppgave 5

a)

Stigningstallet til linjen y= ax + b er a. Dvs. hvor mye man går opp eller ned på y aksen når man går en enhet til høyre på x- aksen, for å treffe linjen igjen. Det er nettopp det v vektor gjør.

b)

Dersom linjen står vinkelrett på hverandre er skalarproduktet mellom retningsvektorene lik null.

[1,a1][1,a2]=01+a1a2=0a1a2=1

Oppgave 6

23(34)x2x=38(34)x2x=(34)2x2x2=0x=1x=2

Oppgave 7

a)

AABCD=a2

Lengden AC = 2a

Areal stort kvadrat blir da:

AAEFC=(2a)2=2a2

Det store kvadratet har dobbelt så stort areal som det lille. Dett kan vi se lett ved geometriske betraktninger, siden ACD er lik BFC.

b)

Avsett et linjestykke AB = 10 cm. Konstruer midtnormalen til AB, CD, slik at C ligger 5 cm under AB og D ligger 5 cm over linjestykke AB. Du har nå to diagonaler, AB og CD, begge på 10 cm. Disse utspenner et kvadrat ABCD på 50cm2

Oppgave 8

f(x)=x3xf(x)=3x21f(x)=limΔx0f(x+Δx)f(x)Δx=limΔx0(x+Δx)3(x+Δx)(x3x)Δx=limΔx0(x2+2xΔx+(Δx)2)(x+Δx)xΔxx3+x)Δx=limΔx0x3+2x2Δx+x(Δx)2+x2Δx+2x(Δx)2+(Δx)3Δxx3Δx=limΔx0Δx(2x2+xΔx+x2+2xΔx+(Δx)21)Δx=2x2+x21=3x21

DEL TO

Oppgave 1

a)

Fra Figuren ser man at etter 15 sek er den ca 0,41 millimol per liter.

Fra Figuren ser man at det tar ca 2 min og 14 sekunder, for å nå 2,0 millimol per liter.

b)

Graf tegnet i a.

Dersom t blir stor ser man at det siste leddet i funksjonsuttrykket går mot null og f går mot 2,5.

c)

Fra Figuren ser man at reaksjonshastigheten da er 0,006 millimol per liter, per sekund.

Oppgave 2

a)

Primtall er tall som kun er delelige med seg selv og en: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, og 23.

b)

Vi har 25 tall, hvorav 9 primtall. Trekkning uten tilbakelegging. Dette er en hypergeometrisk situasjon:


Sannsynligheten for å trekke ut akkurat to primtall er 37,9%.

c)


Sannsynligheten for å trekke ut 3, 4 eller 5 primtall er 23%.

Oppgave 3

a)

AB=[2,4]AC=[t+1,t1]kAB=AC2k=t+14k=t1t=3

Punktene ligger på linje dersom t = -3.

b)

Finner den eller de t verdier som gir skalarprodukt lik null:

AC=[t+1,t1]CB=[1t,5t](t+1)(1t)+(t1)(5t)=02t2+6t4=0t=1t=2

Oppgave 4

a)

Areal trekant AEH + GFC: x(42x)=4x2x2

Areal trekant HGD + EBF: 2x(4x)=8x2x2

Areal av alle fire trekanter: 12x4x2

Areal parallellogram EFGH:

T(x)=16(12x4x2)=4x212x+16

b)

T(x)=84x212x+8=0x=1x=2

Når x=1 eller når x=2 blir arealet av parallellogrammet halvparten av kvadratets areal.

c)

Fra Figuren ser man at arealet blir minst mulig når x = 1,5. Arealet er da 7.

d)

Skalarproduktet mellom HE vektor og HG vektor skal da være null.

HEHG=0[x,4+2x][4x,2x]=04xx28x+4x2=0x(3x4)=0x=0x=43

Dersom x=0 er EFGH et kvadrat, identisk med ABCD. x = 4/3 gir et innskrevet rektangel.

Oppgave 5

a)

B ( 5, 2)

C ( 1, 5)

y = ax + b

Stigningstall a: ΔyΔx=2551=34

5=341+bb=234y=34x+234

b)

Stigningstall:

12a=1a=2


Likning:

Punkt C (1, 5)

y=ax+b5=21+bb=7y=2x+7

c)

Ser på linjene som går gjennom A og B først:

43x+13=13x+1134x+1=x+11x=2

Innsatt i y=43x+13 gir y = 3.

Setter x = 2 inn i y= -2x+7, og får y = -4+7 =3. Altså skjærer alle de tre høydene i punktet (2,3).

Oppgave 6

a)

Vinkel BAS er lik vinkel ABS. Vi kaller dem for x:

u+2x=1802x=180ux=90u2

b)

AS er radien i sirkelen og står følgelig vinkelrett på tangenten i A:

v+90u2=90v=u2

Oppgave 7

a)

f(x)=uvu>0,v>0(lnf(x))´=1uu´1vv´=u´vvúuv

b)

Vi husker resultatet fra oppgave a.

(uv)´=(elnuv)´=elnuvu´vvúuv=uvu´vvuuv=uv´vuv2