S2 2015 vår LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner
Lagt til avsnitt |
Ingen redigeringsforklaring |
||
(35 mellomliggende versjoner av 2 brukere er ikke vist) | |||
Linje 1: | Linje 1: | ||
[http://matematikk.net/res/eksamen/S2/S2_V15.pdf Fullstendig oppgave] | |||
[http://matematikk.net/res/eksamen/S2/kort/S2_V15.pdf Kort oppgave] | |||
[http://matematikk.net/res/eksamen/S2/S2_V15_losn.pdf Løsningsforslag fra den årlige eksamensfesten på Oslo Handelsgym] | |||
[http://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=40038 Diskusjon av denne oppgaven] | [http://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=40038 Diskusjon av denne oppgaven] | ||
[http://www.matematikk.net/res/eksamen/S2/sensur/2015V_Sensorveiledning_REA3028_Matematikk_S2_V15.pdf Sensorveiledning] | |||
[http://www.matematikk.net/res/eksamen/S2/sensur/2015V_Vurderingsskjema_REA3028_Matematikk_S2_V15.xlsm Vurderingsskjema] | |||
[http://www.matematikk.net/res/eksamen/S2/sensur/2015V_Forhandssensurrapport_REA3028_Matematikk_S2_V1.pdf Forhandssensurrapport] | |||
== Del 1 (3 timer) == | == Del 1 (3 timer) == | ||
== Oppgave 1 == | == Oppgave 1 == | ||
=== a) === | |||
=== b) === | |||
Brukar brøkregelen med | |||
=== c) === | |||
Brukar produktregelen til å derivere | |||
== Oppgave 2 == | == Oppgave 2 == | ||
=== a) === | |||
Jeg leser av nullpunktene på grafen: | |||
Da vet vi at | |||
=== b) === | |||
Jeg bruker ett av nullpunktene, f.eks. | |||
Vi vet at | |||
$f(3)=0 \ | |||
3^3 +3^2+k\cdot 3 + k =0 \ | |||
27 +9 +3k +k =0 \ | |||
4k =-36 \ | |||
k = -9 $ | |||
== Oppgave 3 == | == Oppgave 3 == | ||
=== a) === | |||
En rekke er aritmetisk dersom differansen mellom et ledd og leddet foran er konstant. | |||
=== b) === | |||
Av figuren ser vi at veggen er slik at 1. rad (fra toppen) består av 1 murstein, 2. rad består av 2 murstein, 3. rad består av 3 murstein osv. Siste raden består av 20 murstein. | |||
Summen av alle mursteinene blir da en aritmetisk rekke: | |||
Differansen | |||
Vi bruker formelen for summen av en aritmetisk rekke: | |||
$$S_n = \frac{a_1+a_n}{2} \cdot n \ | |||
S_{20} = \frac{1+20}{2} \cdot 20 = 210 $$ | |||
Mureren vil trenge 210 murstein til denne veggen. | |||
== Oppgave 4 == | == Oppgave 4 == | ||
=== a) === | |||
\begin{align*} | |||
x&=0,555 \dots \ | |||
&= 0,5 + 0,05 + 0,005 + \dots \ | |||
&= \frac{5}{10} + \frac{5}{100} + \frac{5}{1000} + \dots \ | |||
&= \frac{5}{10} + \frac{5}{10^2} + \frac{5}{10^3} + \dots | |||
\end{align*} | |||
Dette er en geometrisk rekke med | |||
Siden | |||
$$s=\frac{a_1}{1-k} \ | |||
x= \frac{\frac{5}{10}}{1-\frac{1}{10}} = \frac{\frac{5}{10}}{\frac{9}{10}} = \frac{5}{9} $$ | |||
=== b) === | |||
\begin{align*} | |||
y &=0,232323 \dots \ | |||
&=0,23 + 0,0023 + 0,000023 + \dots \ | |||
&=\frac{23}{100}+\frac{23}{10000} + \frac{23}{1000000} + \dots \ | |||
&=\frac{23}{10^2}+\frac{23}{10^4} + \frac{23}{10^6} + \dots | |||
\end{align*} | |||
Dette er en geometrisk rekke med | |||
Siden | |||
$$s=\frac{a_1}{1-k} \ | |||
y= \frac{\frac{23}{100}}{1-\frac{1}{100}} = \frac{\frac{23}{100}}{\frac{99}{100}} =\frac{23}{99} $$ | |||
== Oppgave 5 == | == Oppgave 5 == | ||
=== a) === | |||
For å finne eventuelle andre nullpunkter kan vi bruke polynomdivisjon til å løse likningen | |||
Siden | |||
Bruker abc-formelen til å løse likningen | |||
$$x= \frac{-5\pm \sqrt{5^2-4\cdot 1\cdot 4}}{2} = \frac{-5\pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-5\pm3}{2}\ | |||
x=-1 \vee x=-4$$ | |||
Nullpunktene til | |||
=== b) === | |||
Grafen til | |||
Løser likningen | |||
$$ x=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot 1 \cdot 3}}{2\cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16-12}}{2} = \frac{-4\pm 2}{2} \ | |||
x=-3 \vee x=-1 $$ | |||
Bruker det faktoriserte uttrykket til å tegne fortegnslinje for | |||
[[File:S2-V15-Del1-Oppg5b.png]] | |||
Av fortegnslinja ser vi at | |||
$f(-3)=(-3)^3+6 \cdot (-3)^2 + 9 \cdot (-3) + 4 = -27 + 54 - 27 +4 = 4 \ | |||
f(-1) = 0 $ | |||
Grafen til | |||
=== c) === | |||
Grafen til | |||
$6(x+2)=0 \ | |||
x= -2 $ | |||
Tegner fortegnslinje for | |||
[[File:S2-V15-Del1-Oppg5c.png]] | |||
Vi ser at | |||
Grafen til | |||
=== d) === | |||
[[File:S2-V15-Del1-Oppg5d.png]] | |||
== Oppgave 6 == | == Oppgave 6 == | ||
===a)=== | |||
Summen av alle sannsynlighetsverdiene i en sannsynlighetsfordeling skal være lik 1. | |||
Det gir oss første likning: | |||
Forventningsverdien regner vi ut slik: | |||
Det gir oss andre likning: | |||
Variansen regner vi ut slik: | |||
Det gir oss tredje likning: | |||
$ \frac{1}{4}a + \frac{1}{4}b + \frac{9}{4} c = \frac{1}{2} \ | |||
a + b +9c = 2 $ | |||
=== b) === | |||
Jeg starter med andre likning: | |||
Setter dette inn i første likning: | |||
$ a+ \frac{1}{2} -2c +c = 1 \ | |||
a=\frac{1}{2}+c$ | |||
Setter inn i siste likning: | |||
$(\frac{1}{2}+c)+(\frac{1}{2}-2c)+9c =2 \ | |||
8c = 1 \ | |||
c= \frac{1}{8} $ | |||
$a=\frac{1}{2}+\frac{1}{8}= \frac{5}{8} \ | |||
b= \frac{1}{2}-\frac{2}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} $ | |||
== Oppgave 7 == | == Oppgave 7 == | ||
=== a) === | |||
Denne | |||
Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt hjortebukk veier mindre enn 90 kg er ca. 31 %. | |||
=== b) === | |||
$P(90 \leq X \leq 110) = P(-0,50 \leq Z \leq 0,50) \ | |||
= P(Z\leq 0,50) - P(Z\leq -0,50) \ | |||
= 0,6915 - 0,3085 =0,3830 $ | |||
Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt bukk veier mellom 90 og 110 kg er 38,3 %. | |||
== Oppgave 8 == | == Oppgave 8 == | ||
Jeg ser først på funksjonen | |||
Når | |||
Da vil | |||
Den eneste grafen som passer med dette er graf (4). | |||
Nå ser vi på funksjonen | |||
Når | |||
Da vil | |||
Den eneste grafen som flater ut ved 100, er graf (1). | |||
Graf (4) hører til | |||
== Del 2 (2 timer) == | == Del 2 (2 timer) == | ||
== Oppgave 1 == | == Oppgave 1 == | ||
=== a) === | |||
Jeg legger tabellen inn i regnearket i GeoGebra, høyreklikker og velger "Lag liste med punkt". | |||
Så skriver jeg inn kommandoen "RegPoly[Liste1, 2]" siden oppgaven sier at vi skal finne et andregradsuttrykk. | |||
Jeg får denne funksjonen: | |||
[[File:S2-V15-Del2-Oppg1a.png]] | |||
=== b) === | |||
Overskuddet er størst når grenseinntekten er lik grensekostnaden. | |||
Vi må altså finne | |||
Løser dette i CAS: | |||
[[File:S2-V15-Del2-Oppg1b.png]] | |||
Overskuddet | |||
Dersom overskuddet skal bli størst mulig ved produksjon og salg av 75 enheter, må | |||
Da er overskuddet 10669 kroner. | |||
=== c) === | |||
Jeg starter med å skrive om formelen for | |||
$x=200-1,2p \ | |||
p(x)= \frac{200-x}{1,2} $ | |||
Dette uttrykket definerer jeg i GeoGebra, og bruker deretter at | |||
Så løser jeg likningen | |||
Til slutt regner jeg ut | |||
[[File:S2-V15-Del2-Oppg1c.png]] | |||
Prisen som vil gi det største overskuddet per dag er 130,50 kroner. | |||
== Oppgave 2 == | == Oppgave 2 == | ||
=== a) === | |||
Jeg bruker kommandoen "g(x)=Funksjon[x^3/(x^3+25000), 0, inf]" til å tegne grafen. | |||
[[File:S2-V15-Del2-Oppg2a.png]] | |||
=== b) === | |||
Jeg legger inn en horisontal linje for "y=0,8" og bruker "skjæring mellom to objekt" til å finne skjæringspunktet | |||
Deltrykket | |||
=== c) === | |||
Jeg bruker CAS til å derivere | |||
[[File:S2-V15-Del2-Oppg2c.png]] | |||
Vi vet at | |||
Vi ser at både teller og nevner i | |||
Når | |||
== Oppgave 3 == | == Oppgave 3 == | ||
Jeg setter opp følgende hypoteser: | |||
Vi har kontrollert 10 hamburgere. Til sammen er fettinholdet (i gram) i disse 10 hamburgerene: | |||
Vi går ut fra at | |||
Vi lar | |||
I følge sentralgrensesetninga er | |||
Vi skal nå finne p-verdien for testen vår, | |||
(Sannsynligheten for at det samla fettinholdet i 10 hamburgere er 107 gram eller mer, forutsatt at | |||
Jeg bruker sannsynlighetskalkulator i GeoGebra: | |||
[[File:S2-V15-Del2-Oppg3.png]] | |||
P-verdien blir | |||
P-verdien er | |||
Vi kan ikke konkludere med at fettinnholdet i hamburgerene er for stort, på grunnlag av denne kontrollen. | |||
== Oppgave 4 == | == Oppgave 4 == | ||
===a)=== | |||
Jeg lager et skjema for å få oversikt. Totalt sparer hun 35 beløp. | |||
Jeg regner alt om til sluttverdier. | |||
[[File:S2-V15-Del2-Oppg4a.png]] | |||
Summen av alle sluttverdiene skal bli 2 000 000: | |||
Dette blir en geometrisk rekke med 35 ledd. | |||
Løser likningen med CAS i GeoGebra: | |||
[[File:S2-V15-Del2-Oppg4a-2.png]] | |||
Vi får | |||
===b)=== | |||
Jeg regner her med at hun har 2 millioner på konto den dagen hun fyller 60 år. (Dersom hun har spart 21000 kroner hvert år vil det egentlig være litt mindre på kontoen.) | |||
Dersom Kristin ikke hadde tatt ut 200 000 kroner hvert år, hadde hun den dagen hun fyller 65 år hatt: | |||
Nå kan vi finne ut hva de 5 uttakene på 200 000 kr hvert år hadde forrentet seg til dersom hun hadde spart de. | |||
Summen av disse sluttverdiene blir: | |||
Dette er en geometriske rekke. | |||
Jeg bruker sumformelen og regner ut summen vha. CAS: | |||
[[File:S2-V15-Del2-Oppg4b.png]] | |||
Den dagen hun fyller 65 år har Kristin 1 392 180 kroner på kontoen. | |||
== Oppgave 5 == | == Oppgave 5 == | ||
=== a) === | |||
Når grafen skjærer y-aksen, er | |||
Regner ut | |||
=== b) === | |||
I vendepunktet er | |||
Jeg bruker CAS i GeoGebra til å løse likningen | |||
Etterpå settter jeg løsningen inn i uttrykket for | |||
[[File:S2-V15-Del2-Oppg5b.png]] | |||
=== c) === | |||
Stigningstallet til tangenten i punktet | |||
Jeg regner ut | |||
[[File:S2-V15-Del2-Oppg5c.png]] |
Siste sideversjon per 12. sep. 2015 kl. 16:57
Løsningsforslag fra den årlige eksamensfesten på Oslo Handelsgym
Del 1 (3 timer)
Oppgave 1
a)
b)
Brukar brøkregelen med
c)
Brukar produktregelen til å derivere
Oppgave 2
a)
Jeg leser av nullpunktene på grafen:
Da vet vi at
b)
Jeg bruker ett av nullpunktene, f.eks.
Vi vet at
Oppgave 3
a)
En rekke er aritmetisk dersom differansen mellom et ledd og leddet foran er konstant.
b)
Av figuren ser vi at veggen er slik at 1. rad (fra toppen) består av 1 murstein, 2. rad består av 2 murstein, 3. rad består av 3 murstein osv. Siste raden består av 20 murstein.
Summen av alle mursteinene blir da en aritmetisk rekke:
Differansen
Vi bruker formelen for summen av en aritmetisk rekke:
Mureren vil trenge 210 murstein til denne veggen.
Oppgave 4
a)
Dette er en geometrisk rekke med
Siden
b)
Dette er en geometrisk rekke med
Siden
Oppgave 5
a)
For å finne eventuelle andre nullpunkter kan vi bruke polynomdivisjon til å løse likningen
Siden
Bruker abc-formelen til å løse likningen
Nullpunktene til
b)
Grafen til
Løser likningen
Bruker det faktoriserte uttrykket til å tegne fortegnslinje for
Av fortegnslinja ser vi at
Grafen til
c)
Grafen til
Tegner fortegnslinje for
Vi ser at
Grafen til
d)
Oppgave 6
a)
Summen av alle sannsynlighetsverdiene i en sannsynlighetsfordeling skal være lik 1.
Det gir oss første likning:
Forventningsverdien regner vi ut slik:
Det gir oss andre likning:
Variansen regner vi ut slik:
Det gir oss tredje likning:
b)
Jeg starter med andre likning:
Setter dette inn i første likning:
Setter inn i siste likning:
Oppgave 7
a)
Denne
Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt hjortebukk veier mindre enn 90 kg er ca. 31 %.
b)
Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt bukk veier mellom 90 og 110 kg er 38,3 %.
Oppgave 8
Jeg ser først på funksjonen
Når
Da vil
Den eneste grafen som passer med dette er graf (4).
Nå ser vi på funksjonen
Når
Da vil
Den eneste grafen som flater ut ved 100, er graf (1).
Graf (4) hører til
Del 2 (2 timer)
Oppgave 1
a)
Jeg legger tabellen inn i regnearket i GeoGebra, høyreklikker og velger "Lag liste med punkt".
Så skriver jeg inn kommandoen "RegPoly[Liste1, 2]" siden oppgaven sier at vi skal finne et andregradsuttrykk.
Jeg får denne funksjonen:
b)
Overskuddet er størst når grenseinntekten er lik grensekostnaden.
Vi må altså finne
Løser dette i CAS:
Overskuddet
Dersom overskuddet skal bli størst mulig ved produksjon og salg av 75 enheter, må
Da er overskuddet 10669 kroner.
c)
Jeg starter med å skrive om formelen for
Dette uttrykket definerer jeg i GeoGebra, og bruker deretter at
Så løser jeg likningen
Til slutt regner jeg ut
Prisen som vil gi det største overskuddet per dag er 130,50 kroner.
Oppgave 2
a)
Jeg bruker kommandoen "g(x)=Funksjon[x^3/(x^3+25000), 0, inf]" til å tegne grafen.
b)
Jeg legger inn en horisontal linje for "y=0,8" og bruker "skjæring mellom to objekt" til å finne skjæringspunktet
Deltrykket
c)
Jeg bruker CAS til å derivere
Vi vet at
Vi ser at både teller og nevner i
Når
Oppgave 3
Jeg setter opp følgende hypoteser:
Vi har kontrollert 10 hamburgere. Til sammen er fettinholdet (i gram) i disse 10 hamburgerene:
Vi går ut fra at
Vi lar
I følge sentralgrensesetninga er
Vi skal nå finne p-verdien for testen vår,
Jeg bruker sannsynlighetskalkulator i GeoGebra:
P-verdien blir
P-verdien er
Oppgave 4
a)
Jeg lager et skjema for å få oversikt. Totalt sparer hun 35 beløp. Jeg regner alt om til sluttverdier.
Summen av alle sluttverdiene skal bli 2 000 000:
Dette blir en geometrisk rekke med 35 ledd.
Løser likningen med CAS i GeoGebra:
Vi får
b)
Jeg regner her med at hun har 2 millioner på konto den dagen hun fyller 60 år. (Dersom hun har spart 21000 kroner hvert år vil det egentlig være litt mindre på kontoen.)
Dersom Kristin ikke hadde tatt ut 200 000 kroner hvert år, hadde hun den dagen hun fyller 65 år hatt:
Nå kan vi finne ut hva de 5 uttakene på 200 000 kr hvert år hadde forrentet seg til dersom hun hadde spart de.
Summen av disse sluttverdiene blir:
Dette er en geometriske rekke.
Jeg bruker sumformelen og regner ut summen vha. CAS:
Den dagen hun fyller 65 år har Kristin 1 392 180 kroner på kontoen.
Oppgave 5
a)
Når grafen skjærer y-aksen, er
Regner ut
b)
I vendepunktet er
Jeg bruker CAS i GeoGebra til å løse likningen
c)
Stigningstallet til tangenten i punktet
Jeg regner ut