1T 2013 høst LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
Ingen redigeringsforklaring
 
(73 mellomliggende versjoner av 2 brukere er ikke vist)
Linje 1: Linje 1:
[http://matematikk.net/ressurser/eksamen/1T/1T_H13.pdf Oppgaven som pdf]
{{EksLenker|1= 
 
*[http://matematikk.net/res/eksamen/1T/1T_H13.pdf Oppgaven som pdf]
[http://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=36353 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]
*[http://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=36353 Diskusjon av denne oppgaven på matteprat]
*[http://www.matematikk.net/res/eksamen/1T/sensur/2013H_Vurderingsskjema_MAT1013_Matematikk_1T_H13.pdf Vurderingsskjema]
*[http://www.matematikk.net/res/eksamen/1T/sensur/2013H_Sensorveiledning_MAT1013_Matematikk_1T_H13.pdf Sensorveiledning]
*[http://ndla.no/nb/node/138107?fag=54 Løsning fra NDLA]
}}


==DEL EN==
==DEL EN==
Linje 63: Linje 67:
==Oppgave 5:==
==Oppgave 5:==


$2lgx-8=5lgx+1 \ -3lgx =9 \ lgx =-3 \ x = 10^{-3} = 0,001$
$2\lg x-8=5\lg x+1 \ -3\lg x =9 \ \lg x =-3 \ x = 10^{-3} = 0,001$


==Oppgave 6:==
==Oppgave 6:==
Linje 70: Linje 74:
y = ax + b
y = ax + b


stigningstal: a=ΔyΔx=5231=32
stigningstall: a=ΔyΔx=5231=32


Bruker dette sammen med første punkt og får:
Bruker dette sammen med første punkt og får:
Linje 81: Linje 85:


==Oppgave 7:==
==Oppgave 7:==
$ -x+y =2 \
-2x^2+y^2 =4  $
$ y =2 + x \
-2x^2+(2+x)^2 =4  $
Finner x fra den nederste ligningen:
$4x-x^2 = 0\
x(4-x) =0\
x=0 \vee x=4$
Setter inn i -x+ y = 2 for å finne tilhørende y verdier.
Finner da at x = 0  gir y = 2 og x = 4 gir y = 6, så svarene er ( 0, 2) og (4, 6).
==Oppgave 8:==
==Oppgave 8:==


Linje 87: Linje 110:
f(x)=x33x2Df=\Rf´(x)=3x26xf´(x)=0x(3x6)=0x=0x=2
f(x)=x33x2Df=\Rf´(x)=3x26xf´(x)=0x(3x6)=0x=0x=2


Setter 0 og 2 inn i funksjonsyttrykket for å finne ekstremalpunkt:
Setter 0 og 2 inn i funksjonsuttrykket for å finne ekstremalpunkt:


f(0)=2f(2)=4
f(0)=2f(2)=4
Linje 125: Linje 148:


[[File:10-1t-h2013.png]]
[[File:10-1t-h2013.png]]
Bruker først Pytagoras på den rettvinklede trekanten til høyre, for å finne det ukjente katetet.




Linje 132: Linje 157:


==Oppgave 1==
==Oppgave 1==


===a)===
===a)===
[[File:5a-1p-h2013.png]]
[[File:1a-1t-h2013.png]]
 
===b)===
===b)===
[[File:5b-1p-h2013.png]]
Fiskebestanden var minst sommeren 2008, da var den i overkant av 51 tonn.
===c)===
 
$f(x) = 3x^3-48x^2+162x+300 \ f ´(x)= 9x^2-96x+162$


Finner minimumspunktet ved å sette den deriverte lik null.
$f ´(x)= 9x^2-96x+162 \f´(x) = 0 \ 9x^2-96x+162 = 0 \
x= \frac{96  \pm \sqrt{96^2 - 4 \cdot 9 \cdot 162}}{18} \
x=2,1  \vee x=8,5$
Nå vet vi fra oppgave a og b at 2,1 er et maksimum og 8,5 et minimum. Dersom man liker å regne ser man at den deriverte er negativ før 8,6 , og positiv etter 8,6. Det betyr at 8,6 er et minimumspunkt.


===c)===
Fiskebestanden var minst sommeren 2008, da var den i overkant av 51 tonn.
===d)===
===d)===
Koordinatene til skjæringspunktet er (5,91 , 200). Det betyr at bestanden var 200 tonn sent på høsten i 2005. Bestanden var på vei ned.


Endring fra jan. 2003 til jan. 2007 var 111 tonn - 435 tonn = - 324 tonn. Perioden var fire år. Den gjennomsnittlige årlige endringen blir da: -324 tonn : 4år = - 81 tonn/år.
$f(x) = 3x^3-48x^2+162x +300 \ f(5) = 3 \cdot 5^3-48 \cdot 5^2+162 \cdot 5 +300 = 285 \ f ´(x)= 9x^2-96x+162 \ f´(5)= 9\cdot 25 -96 \cdot 5 + 162= -93$
 


I denne perioden minket bestanden med 81 tonn i året, i gjennomsnitt.
f(5) forteller oss at bestanden i 2005 var på  285 tonn. den deriverte forteller oss at nedgangen per år, slik den sees i 2005, er på  93  tonn.


==Oppgave 2==
==Oppgave 2==
Linje 163: Linje 199:
==Oppgave 3==
==Oppgave 3==


Sannsynligheten p for at en sykklist sykkler uten lys er 0,2.
Sannsynligheten p for at en syklist sykler uten lys er 0,2.


P(X=k)=(nk)pk(1p)nk
P(X=k)=(nk)pk(1p)nk
Linje 173: Linje 209:
P(X=k)=(nk)pk(1p)nkP(X=0)=(100)0,200,810=0,107
P(X=k)=(nk)pk(1p)nkP(X=0)=(100)0,200,810=0,107


Minst en sykkler uten lys i mørket er da 1 - 0,107 = 0,893 = 89,3%.
Minst en sykler uten lys i mørket er da 1 - 0,107 = 0,893 = 89,3%.
===b)===
===b)===


Sannsynligheten for at nr, 1, nr. 4 og nr. 10 sykler uten lys. Her er bare en kombinasjon mulig:
Sannsynligheten for at nr, 1, nr. 4 og nr. 10 sykler uten lys. Her er bare en kombinasjon mulig:


$P(1,4 og 10 uten lys) = 0,2^3 \cdot 0,8^7 = 0,00167 \approx$ 0,2%
$P(\text{1,4 og 10 uten lys}) = 0,2^3 \cdot 0,8^7 = 0,00167 \approx 0,2 \%$


===c)===
===c)===
Linje 186: Linje 222:
P(X=3)=(103)0,230,87=0,2013
P(X=3)=(103)0,230,87=0,2013


Det er ca 20% sannsylig at tre sykklister sykler uten lys.
Det er ca 20% sannsynlig at tre syklister sykler uten lys.


==Oppgave 4==
==Oppgave 4==
Linje 209: Linje 245:


==Oppgave 5==
==Oppgave 5==
Trekantene kan se slik ut;
[[File:5-1t-h2013.png]]
AB er 8,0cm. Både AC og AD er 5,0 cm. Begge trekantene er 17,5cm2 (bommet med en hundredel på den ene :-)).
I dagens dataverden der matematikk får stadig mindre rom i skolen er vel oppgaven å betrakte som løst. Men, dersom man ønsker en mere analytisk tilnærming kan man gjøre slik:
T=12bcsinAsinA=2TbcsinA=217,585A=61A=18061=119
Vinkelen mellom den 8,0 cm lange siden og den 5,0cm lange siden er 61 grader eller 119 grader.


==Oppgave 6==
==Oppgave 6==
===a))===
Areal av trekanten ABE: TABE=12AEBEsin30=9,0m2
===b)===
Skal finne lengden av CE. Her er det bare å bruke cosinussettningen rett fram, alle størrelser er kjente:
(CE)2=(ED)2+(CD)22EDCDcos85,3=9m2+81m223m9m0,0819=90m24,42m2CE=9,3m
===c)===
Lengden av BC kan man finne ved å bruke sinussettningen, men vi må først finne vinkel ECB, for så å finne vinkel BEC som er motstående vinkel til siden BC.
sinECB6,0=sin83,39,3sinECB=0,64ECB=39,8
Da er vinkel BEC : 180 -  39,8- 83,3 = 56,9 grader.
Finner så siden BC:
sin56,9BC=sin83,39,3BC=7,8
BC er 7,8 meter lang.


==Oppgave 7==
==Oppgave 7==
===a)===
Bruker Pytagoras og finner at y = 5, dvs. høyden av kjeglen er h = 3 + y = 3 + 5 5,24
===b)===
V=13πr2h=13π45,2421,9
===c)===
V=13πr2h=13πx2(3+y)=13πx2(3+32x2)=13πx2(3+9x2)
===d)===
[[File:7d-1t-h2013.png]]
Man observerer at kjeglen har sitt største volum på 33,5 kubikk lengdeenheter. Da er radius 2,83 lengdeenheter. kjeglens flate er i den nedre halvkulen. Høyden er h=3+9x2=3+92,832=4. Høyden er 4 lengdeenheter.

Siste sideversjon per 22. nov. 2014 kl. 13:30


DEL EN

Oppgave 1:

7,510124,0104=301012+(4)=30108=3,0109

Oppgave 2:

a)

Blå bukser Svarte bukser Total
Bukser som passer 3 3 6
Bukser som ikke passer 1 3 4
Total 4 6 10

b)

P (buksa passer) =610 = 60%

Det er 60% sjanse for at buksa passer.

c)

P ( blå bukse, gitt at den passer) = 36=12= 50%

Det er 50% sjanse for at buksa er blå, når vi vet at hun har trukket en bukse som passer.

Oppgave 3:

2x218x2+6x+9=2(x+3)(x3)(x+3)(x+3)=2(x3)x+3

Oppgave 4:

2202181222=2122123222=212132+2=20=1

Oppgave 5:

2lgx8=5lgx+13lgx=9lgx=3x=103=0,001

Oppgave 6:

Rett linje: y = ax + b

stigningstall: a=ΔyΔx=5231=32

Bruker dette sammen med første punkt og får:

y=ax+b2=321+bb=12

Dvs:

y=32x+12

Oppgave 7:

x+y=22x2+y2=4


y=2+x2x2+(2+x)2=4

Finner x fra den nederste ligningen:

4xx2=0x(4x)=0x=0x=4

Setter inn i -x+ y = 2 for å finne tilhørende y verdier.

Finner da at x = 0 gir y = 2 og x = 4 gir y = 6, så svarene er ( 0, 2) og (4, 6).

Oppgave 8:

a)

f(x)=x33x2Df=\Rf´(x)=3x26xf´(x)=0x(3x6)=0x=0x=2

Setter 0 og 2 inn i funksjonsuttrykket for å finne ekstremalpunkt:

f(0)=2f(2)=4

Vi har ekstremalpunktene ( 0, 0 ) og ( 2, -4 ).

f ´ ( -1) er positiv.

f ´( 1) er negativ og

f ´( 3) = er positiv. Det betyr at (0, 0) er et maksimumspunkt og ( 2, -4) er et minimumspunkt.

b)

Faktoriserer f(x):

f(x)=x33x2=x2(x3)

Setter f(x) = 0 og får:

f(x)=0x2(x3)=0x=0x=3

Nullpunkter er (0, 0) og (3, 0).

c)

Oppgave 9:


Cosinus til en vinkel i en rettvinklet trekant er definert som hosliggende katet delt på hypotenusen. cosC=37

Oppgave 10:

Bruker først Pytagoras på den rettvinklede trekanten til høyre, for å finne det ukjente katetet.


Lengden av hypotenusen i den rettvinklede trekanten til venstre er 42+12=17 . omkretsen blir derved 10 + 5 + 6 + 17=21+17 .

DEL TO:

Oppgave 1

a)

b)

Fiskebestanden var minst sommeren 2008, da var den i overkant av 51 tonn.

c)

f(x)=3x348x2+162x+300f´(x)=9x296x+162

Finner minimumspunktet ved å sette den deriverte lik null.

f´(x)=9x296x+162f´(x)=09x296x+162=0x=96±9624916218x=2,1x=8,5

Nå vet vi fra oppgave a og b at 2,1 er et maksimum og 8,5 et minimum. Dersom man liker å regne ser man at den deriverte er negativ før 8,6 , og positiv etter 8,6. Det betyr at 8,6 er et minimumspunkt.

d)

f(x)=3x348x2+162x+300f(5)=3534852+1625+300=285f´(x)=9x296x+162f´(5)=925965+162=93


f(5) forteller oss at bestanden i 2005 var på 285 tonn. den deriverte forteller oss at nedgangen per år, slik den sees i 2005, er på 93 tonn.

Oppgave 2

a)

f(x)=200000,92xf(1)=200000,921=18400f(10)=200000,9210=8687,8

Etter ett døgn er det 18400 liter igjen, og etter ti døgn er det 8687,8 liter igjen i dammen.

b)

f(x)=5000200000,92x0,92x=14xlg0,92=lg0,25x=16,6

Det vil ta ça. 16,6 døgn før det er 5000 liter igjen i dammen.

Oppgave 3

Sannsynligheten p for at en syklist sykler uten lys er 0,2.

P(X=k)=(nk)pk(1p)nk

a)

Ingen sykkler uten lys:

P(X=k)=(nk)pk(1p)nkP(X=0)=(100)0,200,810=0,107

Minst en sykler uten lys i mørket er da 1 - 0,107 = 0,893 = 89,3%.

b)

Sannsynligheten for at nr, 1, nr. 4 og nr. 10 sykler uten lys. Her er bare en kombinasjon mulig:

P(1,4 og 10 uten lys)=0,230,87=0,001670,2%

c)

Tre av ti kjører uten lys:

P(X=3)=(103)0,230,87=0,2013

Det er ca 20% sannsynlig at tre syklister sykler uten lys.

Oppgave 4

Hver av dem har så mange mynter:

Pål = x

Espen = 2x

Per = 6x

til sammen har de 198 mynter.

6x + 2x + x = 198

9x = 198

x = 22

Pål har 22 mynter, Espen har 44 mynter og Per har 132 mynter.

Oppgave 5

Trekantene kan se slik ut;

AB er 8,0cm. Både AC og AD er 5,0 cm. Begge trekantene er 17,5cm2 (bommet med en hundredel på den ene :-)).

I dagens dataverden der matematikk får stadig mindre rom i skolen er vel oppgaven å betrakte som løst. Men, dersom man ønsker en mere analytisk tilnærming kan man gjøre slik:

T=12bcsinAsinA=2TbcsinA=217,585A=61A=18061=119

Vinkelen mellom den 8,0 cm lange siden og den 5,0cm lange siden er 61 grader eller 119 grader.

Oppgave 6

a))

Areal av trekanten ABE: TABE=12AEBEsin30=9,0m2

b)

Skal finne lengden av CE. Her er det bare å bruke cosinussettningen rett fram, alle størrelser er kjente:

(CE)2=(ED)2+(CD)22EDCDcos85,3=9m2+81m223m9m0,0819=90m24,42m2CE=9,3m

c)

Lengden av BC kan man finne ved å bruke sinussettningen, men vi må først finne vinkel ECB, for så å finne vinkel BEC som er motstående vinkel til siden BC.

sinECB6,0=sin83,39,3sinECB=0,64ECB=39,8

Da er vinkel BEC : 180 - 39,8- 83,3 = 56,9 grader.


Finner så siden BC:

sin56,9BC=sin83,39,3BC=7,8

BC er 7,8 meter lang.

Oppgave 7

a)

Bruker Pytagoras og finner at y = 5, dvs. høyden av kjeglen er h = 3 + y = 3 + 5 5,24

b)

V=13πr2h=13π45,2421,9

c)

V=13πr2h=13πx2(3+y)=13πx2(3+32x2)=13πx2(3+9x2)

d)

Man observerer at kjeglen har sitt største volum på 33,5 kubikk lengdeenheter. Da er radius 2,83 lengdeenheter. kjeglens flate er i den nedre halvkulen. Høyden er h=3+9x2=3+92,832=4. Høyden er 4 lengdeenheter.