S2 2013 vår LØSNING

Oppgave 1

a)

Benytter produktregelen:

<math>f^\prime(x) = x^\prime \cdot e^{2x} + x \cdot (e^{2x})^\prime = 1 \cdot e^{2x} + x \cdot 2e^{2x} = e^{2x}(1 + 2x).</math>

b)

Her bruker vi brøkregelen:

<math>\begin{eqnarray*} g^\prime(x) &=& \frac{(x-1)^\prime (x^2 - 3) - (x-1)(x^2-3)^\prime}{(x^2-3)^2} = \frac{1 \cdot (x^2 - 3) - (x-1) \cdot 2x}{(x^2 - 3)^2}\\ &=& \frac{x^2 - 3 - 2x^2 + 2x}{(x^2-3)^2} = \frac{-x^2 + 2x - 3}{(x^2 - 3)^2} = -\frac{x^2 - 2x + 3}{(x^2 - 3)^2} \end{eqnarray*}.</math>

Oppgave 2

I denne oppgaven får vi bruk for at divisjonen <math>p(x) : (x-a)</math> går opp dersom <math>p(a) = 0</math>.

a)

Hvis divisjonen skal gå opp så må vi få 0 når vi setter 3 inn i polynomet, det vil si at

<math>3^2 - 2 \cdot 3 + a = 0 \ \Leftrightarrow \ 3 + a = 0 \ \Leftrightarrow \ a = -3.</math>

b)

Her må <math>x-b</math> være en faktor i polynomet. Faktoriserer vi <math>x^2 - 3x - 4</math>, f.eks. med ABC-formelen, får vi at

<math>x^2 - 3x - 4 = (x+1)(x-4).</math>

Da må <math>x-b = x+1</math> eller <math>x-b = x-4</math>, som gir at <math>b = -1</math> eller <math>b = 4</math>. En annen måte å løse oppgaven på er å, igjen, si at når vi setter inn <math>b</math> i polynomet <math>x^2 - 3x - 4</math>, så får vi 0. Da får vi:

<math>b^2 - 3b - 4 = 0,</math>

og løser vi denne får vi de samme verdiene for <math>b</math>.

Oppgave 3

Denne rekken har formen

<math>a_1 + a_2 + ... = 11 \cdot (-0.1)^0 + 11 \cdot (-0.1)^2 + 11 \cdot (-0.1)^3 + ...</math>

Kvotienten til rekken er <math>k = -0.1</math>. Siden kvotienten er mellom -1 og 1 (har absoluttverdi mindre enn 1), så konvergerer rekka. Summen av de <math>n</math> første leddene er, ved å bruke sumformelen, gitt ved

<math>\displaystyle S_n = a_1 \cdot \frac{k^n - 1}{k-1} = 11 \cdot \frac{(-0.1)^n - 1}{-1.1} = 11 \cdot \frac{1 - (-0.1)^n}{1.1} = 10 \cdot (1 - (-0.1)^n).</math> (I det siste leddet ble 11 delt på 1.1, som blir 10.)

Lar vi antall ledd gå mot uendelig er summen gitt ved

<math>\displaystyle S = a_1 \cdot \frac{1}{1-k} = 11 \cdot \frac{1}{1.1} = 10.</math>

Oppgave 4

Her kan vi velge mellom innsettingsmetoden eller addisjonsmetoden. Viser innsettingsmetoden her, da det virker som den er mest utbredt.

Fra den første ligningen har vi at

<math>x = 13 + z - y.</math>

Setter vi dette inn i de to neste ligningene får vi

(1) <math>2(13 + z - y) + y + z = 27 \ \Leftrightarrow \ 26 + 3z - y = 27 \ \Leftrightarrow \ 3z - y = 1.</math>

og

(2) <math>(13 + z - y) - 3y - 2z = -9 \ \Leftrightarrow \ 13 - z - 4y = -9 \ \Leftrightarrow \ 4y + z = 22.</math>

Disse to ligningene har da kun to ukjente, <math>x</math> og <math>y</math>, og da kan vi gjenta prosessen for å finne dem. I fra (1) får vi at <math>y = 3z - 1</math>. Setter vi det inn i (2) får vi

<math>4(3z - 1) + z = 22 \ \Leftrightarrow \ 13z = 26 \ \Leftrightarrow \ z = 2.</math>

Da er <math>y = 3z - 1 = 3 \cdot 2 - 1 = 5</math> og <math>x = 13 + z - y = 13 + 2 - 5 = 10</math>. Løsningene er altså <math>x = 10, \ y = 5, \ z = 2</math>.

Oppgave 5

a)

<math>f^\prime(x) = 3x^2 - 12x + 9</math>

Vi faktoriserer <math>f`^\prime(x)</math> (ved å f.eks. benytte andregradsformelen til å finne nullpunkter) og får:

<math>f^\prime(x) = 3(x-1)(x-3).</math>

Da er <math>f^\prime(x) = 0</math> når <math>x = 1</math> eller <math>x = 3</math>. Tegner vi et fortegnsskjema ser vi at begge faktorer er negative frem til <math>x = 1</math>, så den deriverte er positiv og funksjonen dermed stigende for <math>x < 1</math>. Mellom <math>x = 1</math> og <math>x = 3</math> er fortegnene motsatte, slik at den deriverte blir negativ, og funksjonen altså avtagende. Situasjonen snur igjen for <math>x > 3</math>. Til sammen forteller dette oss at <math>x = 1</math> er et topp-punkt og <math>x = 3</math> er et bunnpunkt.

b)

<math>f^{\prime \prime}(x) = 6x - 12 = 6(x-2).</math>

<math>f^{\prime \prime}(x)</math> er lik <math>0</math> og skifter fortegn i <math>x = 2</math>. Dermed må <math>x = 2</math> være et vendepunkt.

c)

Ingen skisse for øyeblikket.

Oppgave 6

a)

Total sannsynlighet er 1, altså må summen av <math>P(X = x)</math> for alle verdier av <math>x</math> være lik 1. Det gir oss:

<math>2p + p + 3p + 0.3 + p = 1 \ \Leftrightarrow \ 7p = 1 - 0.3 = 0.7 \ \Leftrightarrow \ p = 0.1.</math>

b)

Forventningsverdien <math>E(X)</math> finner vi ved

<math>\begin{eqnarray*} E(X) &=& x_1 P(X = x_1) + x_2 P(X = x_2) + ... + x_5 P(X = x_5)\\ &=& 0 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.1 + 2 \cdot 0.3 + 3\cdot 0.3 + 4 \cdot 0.1 = 2. \end{eqnarray*}</math>

Forventningsverdien for X er altså <math>X = 2</math>.

Variansen <math>Var(X)</math> finner vi ved

<math>\begin{eqnarray*} Var(X) &=& (x_1 - E(X))^2 P(X = x_1) + (x_2 - E(X))^2 P(X = x_2) + ... + (x_5 - E(X))^2 P(X = x_5)\\ &=& (0 - 2)^2 \cdot 0.2 + (1 - 2)^2 \cdot 0.1 + (2 - 2)^2 \cdot 0.3 + (3 - 2)^2 \cdot 0.3 + (4 - 2)^2 \cdot 0.1\\ &=& 0.8 + 0.1 + 0 + 0.3 + 0.4 = 1.6 \end{eqnarray*}</math>.

Oppgave 7

a)

Forventningsverdiene finner vi i topp-punktene til normalfordelingene. Det vil si at <math>X_1</math> og <math>X_2</math> svarer til (3) eller (4), siden disse har forventingsverdi 5, mens <math>X_3</math> og <math>X_4</math> svarer til (1) eller (2), siden disse har forventningsverdi 10.

Videre forteller standardavviket noe om hvor utspredt fordelingen er. Mindre standardavvik betyr mindre spredning. Dermed må <math>X_1</math> ha grafen (4), <math>X_2</math> ha grafen (3), <math>X_3</math> ha grafen (2) og <math>X_4</math> ha grafen (1).

b)

Sannsynligheten <math>P(7 < X < 14)</math> er lik arealet under kurven mellom <math>x = 7</math> og <math>x = 14</math>. Det totale arealet er alltid 1. Vi må se på hver av (1), (2), (3) og (4) og se om det er mulig at <math>P(7 < X < 14) = 0.75</math> for hver av dem.

(1): Fordelingen er tilnærmet 0 ved <math>x = 7</math> og ved <math>x = 14</math>. Det betyr at tilnærmet alt arealet er mellom de to. Da må <math>P(7 < X_1 < 14) \approx 1 > 0.75</math>.

(3): Vi ser at området fra <math>x = 7</math> til <math>x = 14</math> dekker under halvparten av arealet, så <math>P(7 < X_3 < 14) < 0.5 < 0.75</math>.

(4): Også her dekker området fra <math>x = 7</math> til <math>x = 14</math> under halvparten av arealet, så <math>P(7 < X_4 < 14) < 0.5 < 0.75</math>.

Da gjenstår kun (2) som det eneste alternativet, og vi ser at det kan stemme med grafen.

Oppgave 1

a)

Med <math>x = E(p)</math> har vi at

<math>x = 6000 - 4p</math>

Ved etterspørsel <math>E(p)</math> er inntekten gitt ved <math>I(p) = pE(p) = px</math>. Fra uttrykket for <math>x</math> ovenfor finner vi at

<math>\displaystyle p = \frac{6000 - x}{4} = 1500 - \frac{x}{4}.</math>

Da er

<math>\displaystyle I(x) = px = \left(1500 - \frac{x}{4}\right) x = 1500x - \frac{x^2}{4},</math>

og

<math>I^\prime(x) = 1500 - 0.5x.</math>

b)

Overskuddet er <math>I(x) - K(x)</math>, som er størst dersom den deriverte er 0 og skifter fortegn fra positivt til negativt. Vi har at

<math>(I(x) - K(x))^\prime = I^\prime(x) - K^\prime(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ I^\prime(x) = K^\prime(x),</math>

dvs. at overskuddet er størst når grenseinntekten (som vi allerede har funnet et uttrykk for) er lik grensekostnaden

<math>K^\prime(x) = 0.04x + 20.</math>

Det gir oss

<math>\begin{eqnarray*} I^\prime(x) &=& K^\prime(x)\\ 1500 - 0.5x &=& 0.04x + 20\\ 0.54x &=& 1480\\ x &=& 2740.7\end{eqnarray*}</math>

Det må altså selges <math>x = 2740</math> enheter for å oppnå maksimalt overskudd. Ved å bruke sammenhengen mellom pris <math>p</math> og antall enheter <math>x</math> finner vi da at prisen per enhet er

<math>\displaystyle p = 1500 - \frac{x}{4} = 1500 - \frac{2740}{4} = 685</math>.

c)

Bedriften går i balanse når overskuddet er lik 0, med andre ord når inntektene og kostnadene er like store. Setter vi opp dette får vi

<math>\begin{eqnarray*} I(x) &=& K(x)\\ 1500x - 0.25x^2 &=& 0.02x^2 + 20x + 550000\\ 0.27x^2 - 1480x + 550000 &=& 0\end{eqnarray*}</math>

Løser vi denne ligningen får vi at <math>x = 401</math> eller <math>x = 5080</math>. Større antall solgte enheter gir lavere pris, altså vil den minste prisen være

<math>p = 1500 - 0.25x = 1500 - 0.25 \cdot 5080 = 230</math>.

Oppgave 2

a)

2012 er 6 år etter 2006, altså må vi sette inn <math>x = 6</math> i funksjonen:

<math>\displaystyle f(6) = \frac{333}{1+1.45e^{-0.23 \cdot 6}} = 244</math>.

b)

Her kommer metoden an på hvilket digitalt verktøy man benytter. I GeoGebra kan punktene legges inn, f.eks. med navn A, B, C, D, E, F og G, og deretter kan kommandoen fitLogistic[A,B,C,D,E,F,G] benyttes. Vi får da funksjonen

<math>\displaystyle g(x) = \frac{317.17}{1+1.35e^{-0.25x}}.</math>

c)

Når <math>x</math> blir større og større vil <math>e^{-0.23x}</math> og <math>e^{-0.25x}</math> gå mot 0. Vi har da at

<math>\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{333}{1 + 1.45 \cdot 0} = 333, \quad \lim_{x \to \infty} g(x) = \frac{317.17}{1 + 1.35 \cdot 0} = 317.17</math>.

I det lange løp vil altså firma A selge flest enheter per år.

d)

Arealet under grafene til <math>f</math> og <math>g</math> mellom to punkter gir oss det modellene anslår til å være antall solgte enheter i tidsrommet mellom de to punktene. Her må altså finne araelet under kurvene til <math>f</math> og <math>g</math> fra <math>x = 0</math> til <math>x = 9</math>. Dette gjøres med digitalt verktøy. I GeoGebra må de to funksjonene legges inn, og deretter benyttes kommandoene integral[f, 0, 9] og integral[g, 0, 9] til å finne arealene. Man får da

<math>\int_0^9 f(x) dx = 1942.9</math> og <math>\int_0^9 g(x) dx = 1933.94</math>,

altså er antall solgte enheter henholdsvis 1943 for firma A og 1934 for firma B.