2P 2012 høst ny LØSNING

MAT 1015

Oppgave 1

4, 5, 6, 8, 10, 10, 12, 12, 12, 15, 18, 20

Median: Gjennomsnitt av tall nr. 6 og 7 : 11

Typetall: den størrelsen som opptrer flest ganger 12

Gjennomsnitt: <math>\frac{4+5+6+8+10+10+12+12+12+15+18+20}{12} = 11</math>

Variasjonsbredde: 20 - 4 = 16

Oppgave 2

a) Seks år fram i tid: V(6) = <math>100.000 \cdot 0,85^t = 100.000 \cdot 0,85^6</math>

b) For seks år siden: V(6) =<math> \frac{100.000}{0,85^t} = 100.000 \cdot 0,85^{-t} = 100.000 \cdot 0,85^{-6} </math>

Oppgave 3

<math>0,0003 \cdot 0,00000015 = 3,0 \cdot 10^{-4} \cdot 1,5 \cdot 10^{-7} = 4,5 \cdot 10^{-11}</math>

Oppgave 4

<math>\frac{(a^3)^{-2} \cdot a^5}{a^{-3} \cdot ^0} =a^{-6+5 - (-3)+0} = a^2 </math>

Oppgave 5

a) <math>(2^3)^2 \cdot 2^0 = 2^6 = 64 </math>

b) <math>(\frac{1}{3^{-2}})^2 = \frac{1}{3^{-4}} = 3^4 = 81 </math>

Oppgave 6

<math>10_{10} = 101_3 = 11_9 \\ 100_{10} = 10201_3 = 121_9 \\ 200_{10} = 21102_3 = 242_9</math>

Oppgave 7

Median. Vi sier at medianeleven er elev nr 5, altså den nest siste i interval nr. to. Får da <math>50 + \frac 45 \cdot 50 \approx 90</math>kr

Gjennomsnitte: antar at elevene fordeler seg jevnt i intervallene: <math>\frac {1 \cdot 25 + 5 \cdot 75 + 1 \cdot 125 + 3 \cdot 175}{10} \approx 105</math>kr

Oppgave 8

Oppgave 9

a)

Ved opptelling ser man at figur <Math>f_5= 26</Math> og <Math>f_6= 31</Math>

b)

Flytter noen av perlene slik at man danner et rektangel med høyde to perler og bredde (2n+1) perle. Resten av perler som ikke får plass i rektangelet blir n-1. Man får: Antall = (2n+1)2 + (n-1) = 5n + 1.

<Math>f_{36} = 5 \cdot 36 + 1 = 181</Math>

c)

5n +1 = 1000 gir n = 199

Oppgave 1

a)

Pris per kg epler: <Math>\frac{(290-210)kr}{(7-3)kg}= \frac{80kr}{4kg} = 20kr/kg</Math>

Pris for korg: <Math>210kr - 3 \cdot 20kr = 210kr - 60 kr = 150kr</Math>

b)

P (x) = 20x + 150

c)

P = 320

320 = 20x + 150

20x = 170

x = 8,5

Hun kjøpe en korg med 8,5 kilogram epler i.

Oppgave 2

a)

<Math>2\cdot60^2 + 30 \cdot 60^1 + 11 \cdot 60^0 = \\ 7200 + 1800 + 11 = 9011</Math>

b)

<Math>\sqrt{113^2 - 112^2} = 15</Math>

Oppgave 3

a)

b)

c)

Varians er et mål på spredning. Når den blir mindre er spredningen i verdiene mindre. Det er naturlig at det er tettere fra 20- 40, da det vil være mange som ligger i gruppen like bak de aller beste.

Oppgave 4

a)

Legger sammen kampene: 1 + 2 + 4 + 10 + 9 + 6 + 4 + 9 + 11 + 11 + 4 = 71 kamper.

Legger sammen målene: 2 + 3 + 3 + 2 + 5 + 1 + 4 = 20 mål.

Gjennomsnittlig mål per kamp: <Math>\frac{20 mål}{71 kamper} = 0,28 mål/kamp</Math>

I 1993 skåret han 5 mål på ni kamper. Det er et snitt på <Math>\frac 59 = 0,56 mål/kamp</Math>

b)

Mål per år'	Frekvens	Kummulativ frekvens
0	4	4
1	1	5
2	2	7
3	2	9
4	1	10
5	1	11

Det betyr at i syv av de elleve årene han spilte skåret han to mål eller mindre per år.

Oppgave 5

a) Se figur. x- aksen viser årets tolv måneder og y- aksen antall kilogram pølser solgt.

b) Se figur. Modellen er gitt ved <Math>f(x)=-x^3+10,4x^2+20,9x+14,6</Math>

c) En økning på 20% i 2012 tilsvarer å multiplisere modellen i b med 1,2. Man får da den blå kurven. Man ser at pølsesalget ligger over 300kg i perioden mai til oktober.

Oppgave 6

a)

Ut fra opplysningen om at renten er den samme hvert år kan man slutte at dette er eksponentiell vekst. Vi lager følgende modell:

Modellen blir <Math>f(x) = 10000 \cdot 1,05^x</Math>

b)

Etter 20 år: <Math>f(x) = 10000 \cdot 1,05^{20} = 26533 kr</Math>

Beløpet passere 50000kr etter ca. 33 år, se grafisk løsning under.

Oppgave 7

a)

<math> 1+ 2^2 +3^2+ .. +n^2</math>

Formelen er riktig fordi dersom høyden av stabelen er n bokser vil grunnflaten i pyramiden være n ganger n. Laget nummer to vil ha grunnflane (n-1) ganger (n-1) osv.

b)

<math> 1+ 2^2 +3^2+ 4^2+5^2+6^2= 1+4+9+16+25+36 = 91 \\ P_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{n} \Rightarrow P_6 = \frac{6(6+1)(2 \cdot 6+1)}{6} = 7 \cdot 13 = 91 </math>

c)

Oppgaven kan løses grafisk ved hjelp av et graf-tegneprogram, her Graph.

Man ser at med tusen bokser får man 13 høyder og bruker 119 bokser. Vi har da 181 bokser igjen. (mangler bare 15 bokser på å kunne lage en høyde til).