1T 2012 vår LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
m Teksterstatting – «/ressurser/eksamen/» til «/res/eksamen/»
 
(23 mellomliggende versjoner av 3 brukere er ikke vist)
Linje 1: Linje 1:
{{EksLenker|1= 
* [http://folk.ntnu.no/oistes/Eksamen%20-%20VGS/1T/T1%20V12.pdf Løsning fra Nebu]
*[http://www.matematikk.net/res/eksamen/1T/sensur/2012V_Vurderingsskjema_MAT1013_Matematikk_1T_V12.pdf Vurderingsskjema]
*[http://www.matematikk.net/res/eksamen/1T/sensur/2012V_Sensorveiledning_MAT1013_Matematikk_1T_V12.pdf Sensorveiledning]
*[http://www.matematikk.net/res/eksamen/1T/sensur/2012V_Forhåndssensur_MAT1013_Matematikk.pdf Forhåndssensur]
}}


== DEL EN ==
== DEL EN ==
Linje 8: Linje 16:
=== a) ===
=== a) ===
  <p></p>
  <p></p>
1) <tex> 8+2 \cdot 3 - 3^2 - (10-12)^2 = 8 + 6  - 9 -4 =1</tex>
1) <math> 8+2 \cdot 3 - 3^2 - (10-12)^2 = 8 + 6  - 9 -4 =1</math>




2)
2)
<tex> \frac{9^{\frac 12} \cdot 3^{-3}}{(3^{-2})^3} = \frac{(3^2)^{\frac 12} \cdot 3^{-3}}{3^{-6}} = 3^{1-3+6} =3^4 = 81 </tex>
<math> \frac{9^{\frac 12} \cdot 3^{-3}}{(3^{-2})^3} = \frac{(3^2)^{\frac 12} \cdot 3^{-3}}{3^{-6}} = 3^{1-3+6} =3^4 = 81 </math>




=== b) ===
=== b) ===
   <p></p>
   <p></p>
<tex>5,5 \cdot 10^5 \cdot 6,0 \cdot 10^6 = 5,5 \cdot 6,0 \cdot 10^{11} =33,0 \cdot 10^{11} = 3,3 \cdot 10^{12}  </tex><p></p>
<math>5,5 \cdot 10^5 \cdot 6,0 \cdot 10^6 = 5,5 \cdot 6,0 \cdot 10^{11} =33,0 \cdot 10^{11} = 3,3 \cdot 10^{12}  </math><p></p>


=== c) ===
=== c) ===
   <p></p>
   <p></p>
<tex>\left[{ x+2y =16 \ 3x-y=6 }\right] \  \left[{ x =16-2y \ 3(16-2y)-y=6 }\right] \
<math>\left[{ x+2y =16 \ 3x-y=6 }\right] \  \left[{ x =16-2y \ 3(16-2y)-y=6 }\right] \
\left[{ x =16-2y \ 48-6y-y=6 } \right] \ \left[{ x =16-2y \ y=7 } \right] \ \left[{ x = 2 \ y=7 } \right]
\left[{ x =16-2y \ 48-6y-y=6 } \right] \ \left[{ x =16-2y \ y=6 } \right] \ \left[{ x = 4 \ y=6 } \right]
</tex>
</math>
<p></p>
<p></p>


=== d) ===
=== d) ===
   <p></p> <tex>2x-3=6- \frac 14x</tex><p></p>
   <p></p> <math>2x-3=6- \frac 14x</math><p></p>
Grafisk løsning<p></p>[[Fil:1t-2012,1.png]]
Grafisk løsning<p></p>[[Fil:1t-2012,1.png]]
<p></p>
<p></p>
Linje 34: Linje 42:


=== e) ===
=== e) ===
<tex>-x^2-x+13 \geq 0</tex>
<math>-x^2-x+13 \geq 0</math>
<p></p>
<p></p>
Faktoriserer (abc-formelen) og får:<p></p>
Faktoriserer (abc-formelen) og får:<p></p>
<tex>-(x+4)(x-3) \geq 0</tex><p></p>
<math>-(x+4)(x-3) \geq 0</math><p></p>
Fortegnsskjema:<p></p>
Fortegnsskjema:<p></p>
[[Fil:2012-1h.png]]
[[Fil:2012-1h.png]]
<p></p>
<p></p>
<tex> x \in [-4,3]</tex>
<math> x \in [-4,3]</math>




Linje 47: Linje 55:
Man ser at uttrykket i teller er det samme som uttrykket i e.
Man ser at uttrykket i teller er det samme som uttrykket i e.


<tex>\frac{-x^2-x+12}{x^2-9} = \frac{-(x+4)(x-3)}{(x+3)(x-3)} = - \frac{x+4}{x+3}</tex>
<math>\frac{-x^2-x+12}{x^2-9} = \frac{-(x+4)(x-3)}{(x+3)(x-3)} = - \frac{x+4}{x+3}</math>




Linje 55: Linje 63:
Fra diagrammet ser man at sannsynligheten for at eleven spiller håndball når man vet at eleven spiller fotball er seks femtenedeler.
Fra diagrammet ser man at sannsynligheten for at eleven spiller håndball når man vet at eleven spiller fotball er seks femtenedeler.
<p></p>
<p></p>
<tex>P(haandball | fotball) = \frac {6}{15}</tex>
<math>P(haandball | fotball) = \frac {6}{15} = \frac 25</math>


=== h) ===
=== h) ===
Linje 62: Linje 70:
Karen = (3(x-4))/2<p></p>
Karen = (3(x-4))/2<p></p>
Siri + Marit + Karen = 26<p></p>
Siri + Marit + Karen = 26<p></p>
<tex>x + 3(x-4) + \frac 32 (x-4) = 26 \ 2x+3x+6x = 88 \ x= 8</tex>
<math>x + 3(x-4) + \frac 32 (x-4) = 26 \ 2x+3x+6x = 88 \ x= 8</math>
<p></p>
<p></p>
Siri er 8 år.<p></p>
Siri er 8 år.<p></p>
Linje 74: Linje 82:
AC = AB = 3<p></p>
AC = AB = 3<p></p>
Bruker pytagoras:<p></p>
Bruker pytagoras:<p></p>
<tex>(BC)^2 = (AB)^2 + (AC)^2 \ (BC)^2 = 9+9 \BC = \sqrt{18} = \sqrt {9 \cdot 2} = 3\sqrt 2</tex>
<math>(BC)^2 = (AB)^2 + (AC)^2 \ (BC)^2 = 9+9 \BC = \sqrt{18} = \sqrt {9 \cdot 2} = 3\sqrt 2</math>
<p></p>
<p></p>
'''2)'''
'''2)'''
<p></p>
<p></p>
<tex>cos 45 = \frac{3}{3\sqrt2} = \frac {1}{\sqrt 2} = \frac{1 \cdot \sqrt2}{\sqrt2 \cdot \sqrt 2 } = \frac{\sqrt2}{2}</tex>
<math>cos 45 = \frac{3}{3\sqrt2} = \frac {1}{\sqrt 2} = \frac{1 \cdot \sqrt2}{\sqrt2 \cdot \sqrt 2 } = \frac{\sqrt2}{2}</math>




Linje 84: Linje 92:
== Oppgave 2: ==
== Oppgave 2: ==


<tex>f(x) = x^2-2x +a</tex>
<math>f(x) = x^2-2x +a</math>




Linje 91: Linje 99:


=== b) ===
=== b) ===
<tex>f(3)= 0 \ 3^2-2 \cdot 3 + a = 0 \ a= -3</tex>
<math>f(3)= 0 \ 3^2-2 \cdot 3 + a = 0 \ a= -3</math>


=== c) ===
=== c) ===
Linje 105: Linje 113:


=== d) ===
=== d) ===
Dersom <tex>b^2-4ac </tex> er null har funksjonen ett nullpunkt.Dersom <tex>b^2-4ac </tex> er større enn null har den to. <p></p>
Dersom <math>b^2-4ac </math> er null har funksjonen ett nullpunkt.Dersom <math>b^2-4ac </math> er større enn null har den to. <p></p>
<tex> (-2)^2-4a \geq 0 \ a\leq 1</tex>
<math> (-2)^2-4a \geq 0 \ a\leq 1</math>




Linje 114: Linje 122:
== Oppgave 3: ==
== Oppgave 3: ==


=== a: ===
Pytagoras:<p></p> (BD)2=(24m)2+(16m)2(BD)2=900m2BD=30m
=== b: ===
ABD:<p></p>
Cos(ABD)=2430ABD=36,9<p></p>
BCD:<p></p>
Bruker Cosinussettningen og får:<p></p>
302=242+16222416cosCcosC=90057625622416c=95,1
=== c: ===
Arealet av firkanten ABCD er lik arealet av trekantene ABD og BCD:
ABD+BCD=18242+121624sin95,1=407,2m2
=== d: ===
Da ville figuren hvært et trapes med areal 408 kvadratmeter. Det er ikke tilfellet, og man kan slutte at vinkel ABC er forskjellig fra 90 grader.


== Oppgave 4: ==
== Oppgave 4: ==


=== a) ===
=== a) ===
<tex>f(x) = -0,05x^2+2,60x+0,50</tex><p></p>
<math>f(x) = -0,05x^2+2,60x+0,50</math><p></p>


[[Fil:2012-4a.png]]<br>
[[Fil:2012-4a.png]]<br>
Linje 128: Linje 155:
Fra grafen i a: Når grisen passerer 20 kg. er den 9 måneder gammel.
Fra grafen i a: Når grisen passerer 20 kg. er den 9 måneder gammel.


Gjennomsnittlig vektøkning: <tex> \frac {20kg - 0,5kg}{9,09 mnd} = 2,15 kg/mnd</tex>
Gjennomsnittlig vektøkning: <math> \frac {20kg - 0,5kg}{9,09 mnd} = 2,15 kg/mnd</math>


=== c) ===
=== c) ===


<tex> f'(x)= -0,1x+2,60 \ f'(12) = -0,1 \cdot 12 + 2,60 = 1,40 kg/mnd</tex>
<math> f'(x)= -0,1x+2,60 \ f'(12) = -0,1 \cdot 12 + 2,60 = 1,40 kg/mnd</math>




Linje 148: Linje 175:


=== a) ===
=== a) ===
<tex>P(rosa \cap rosa ) = \frac {2}{10} \cdot \frac 19 = \frac {2}{90} = \frac {1}{45}</tex>
<math>P(rosa \cap rosa ) = \frac {2}{10} \cdot \frac 19 = \frac {2}{90} = \frac {1}{45}</math>
=== b) ===
=== b) ===
<tex>P(en- rosa- av -to) = \frac {2}{10} \cdot \frac {8}{9}+\frac {8}{10}\cdot \frac {2}{9}=\frac {16}{45}</tex>
<math>P(en- rosa- av -to) = \frac {2}{10} \cdot \frac {8}{9}+\frac {8}{10}\cdot \frac {2}{9}=\frac {16}{45}</math>


=== c) ===
=== c) ===


<tex>P(to-av-samme-farge) = 5 \cdot \frac{1}{45}= \frac 19</tex>
<math>P(to-av-samme-farge) = 5 \cdot \frac{1}{45}= \frac 19</math>




== Oppgave 6: ==
== Oppgave 6: ==
 
'''a)'''<br>
 
P(x=20)=(5020)0,4200,630=0,11
<br>
'''b)'''
<br>
P(x>15)=P(16)+P(17)+..+P(50)=0,905


== Oppgave 7: ==
== Oppgave 7: ==
Linje 165: Linje 196:
=== a) ===
=== a) ===
Avstanden AC + CE: <p></p>
Avstanden AC + CE: <p></p>
<tex>(AC)^2 = 100 + x^2 \ AC = \sqrt{100+x^2}\ (CE)^2 = 12^2 +( 12-x)^2 \ (CE)^2 = 144+144-24x+x^2 \ CE = \sqrt{288-24x +x^2} \ AC+CE = \sqrt{100+x^2} + \sqrt{288-24x +x^2}</tex>
<math>(AC)^2 = 100 + x^2 \ AC = \sqrt{100+x^2}\ (CE)^2 = 12^2 +( 12-x)^2 \ (CE)^2 = 144+144-24x+x^2 \ CE = \sqrt{288-24x +x^2} \ AC+CE = \sqrt{100+x^2} + \sqrt{288-24x +x^2}</math>
 
=== b) ===
[[Fil:1t-min.png]]
<p></p>
Fra grafen til den deriverte ser man at AC+CE har sin minste lengde når x = 5,45


== Oppgave 8: ==
== Oppgave 8: ==
Linje 171: Linje 207:
Rasjonale funksjoner er ikke definert for den eller de verdier som gir null i nevner. Siden f har en vertikal asymptote for x = 1 og nevner er (x-d), må d ha verdien 1 siden 1 -1 = 0.<p></p>
Rasjonale funksjoner er ikke definert for den eller de verdier som gir null i nevner. Siden f har en vertikal asymptote for x = 1 og nevner er (x-d), må d ha verdien 1 siden 1 -1 = 0.<p></p>


<tex>f(0)= \frac{c}{-d} = 2 \Rightarrow c = -2</tex>.<p></p>
<math>f(0)= \frac{c}{-d} = 2 \Rightarrow c = -2</math>.<p></p>
Setter inn x verdiene i nullpunktene og får:<p></p>
Setter inn x verdiene i nullpunktene og får:<p></p>
<tex>a-b-2=0 \ \wedge \ 4a+2b-2 =0 \ a= 1 \wedge b=-1</tex>
<math>a-b-2=0 \ \wedge \ 4a+2b-2 =0 \ a= 1 \wedge b=-1</math>

Siste sideversjon per 19. okt. 2014 kl. 17:06



DEL EN

Opgave 1

a)

1) 8+2332(1012)2=8+694=1


2) 91233(32)3=(32)123336=313+6=34=81


b)

5,51056,0106=5,56,01011=33,01011=3,31012

c)

[x+2y=163xy=6][x=162y3(162y)y=6][x=162y486yy=6][x=162yy=6][x=4y=6]

d)

2x3=614x

Grafisk løsning

Man observerer at: x = 4


e)

x2x+130

Faktoriserer (abc-formelen) og får:

(x+4)(x3)0

Fortegnsskjema:

x[4,3]


f)

Man ser at uttrykket i teller er det samme som uttrykket i e.

x2x+12x29=(x+4)(x3)(x+3)(x3)=x+4x+3


g)

I et Venndiagram ser situasjonen slik ut:

Fra diagrammet ser man at sannsynligheten for at eleven spiller håndball når man vet at eleven spiller fotball er seks femtenedeler.

P(haandball|fotball)=615=25

h)

Siri = x

Marit = 3(x-4)

Karen = (3(x-4))/2

Siri + Marit + Karen = 26

x+3(x4)+32(x4)=262x+3x+6x=88x=8

Siri er 8 år.

Marit er 12 år.

Karen er 6 år.


i)

1)

AC = AB = 3

Bruker pytagoras:

(BC)2=(AB)2+(AC)2(BC)2=9+9BC=18=92=32

2)

cos45=332=12=1222=22


Oppgave 2:

f(x)=x22x+a


a)

f(0) = a ,dvs. a må være lik 2.

b)

f(3)=03223+a=0a=3

c)

f'(x) = 2x-2

f'(x) = 0

2x - 2 = 0

x = 1

f(1) = 5

1-2+a =-5

a=-4

d)

Dersom b24ac er null har funksjonen ett nullpunkt.Dersom b24ac er større enn null har den to.

(2)24a0a1


DEL TO

Oppgave 3:

a:

Pytagoras:

(BD)2=(24m)2+(16m)2(BD)2=900m2BD=30m

b:

ABD:

Cos(ABD)=2430ABD=36,9

BCD:

Bruker Cosinussettningen og får:

302=242+16222416cosCcosC=90057625622416c=95,1

c:

Arealet av firkanten ABCD er lik arealet av trekantene ABD og BCD:

ABD+BCD=18242+121624sin95,1=407,2m2

d:

Da ville figuren hvært et trapes med areal 408 kvadratmeter. Det er ikke tilfellet, og man kan slutte at vinkel ABC er forskjellig fra 90 grader.

Oppgave 4:

a)

f(x)=0,05x2+2,60x+0,50


Figuren viser sammenheng mellom vekt i kg på y aksen og alder i måneder på x aksen.

I følge modellen veier en gris 0,5 kg ved fødselen. (f(0) = 0,5)

b)

Fra grafen i a: Når grisen passerer 20 kg. er den 9 måneder gammel.

Gjennomsnittlig vektøkning: 20kg0,5kg9,09mnd=2,15kg/mnd

c)

f(x)=0,1x+2,60f(12)=0,112+2,60=1,40kg/mnd


d)

Fra grafen i a ser man at den deriverte avtar med økende verdi av x.

f'(x)=0,50

-0,1x + 2,60 = 0,5

x = 21

Grisene vokser med 0,50kg per mnd. i den 21. måneden, og blir da slaktet.


Oppgave 5:

a)

P(rosarosa)=21019=290=145

b)

P(enrosaavto)=21089+81029=1645

c)

P(toavsammefarge)=5145=19


Oppgave 6:

a)
P(x=20)=(5020)0,4200,630=0,11
b)
P(x>15)=P(16)+P(17)+..+P(50)=0,905

Oppgave 7:

a)

Avstanden AC + CE:

(AC)2=100+x2AC=100+x2(CE)2=122+(12x)2(CE)2=144+14424x+x2CE=28824x+x2AC+CE=100+x2+28824x+x2

b)

Fra grafen til den deriverte ser man at AC+CE har sin minste lengde når x = 5,45

Oppgave 8:

Rasjonale funksjoner er ikke definert for den eller de verdier som gir null i nevner. Siden f har en vertikal asymptote for x = 1 og nevner er (x-d), må d ha verdien 1 siden 1 -1 = 0.

f(0)=cd=2c=2.

Setter inn x verdiene i nullpunktene og får:

ab2=04a+2b2=0a=1b=1