R2 2013 høst LØSNING

Oppgaven som pdf

Matteprat: Diskusjon omkring denne oppgaven

DEL EN

Oppgave 1

a) $ \displaystyle f(x) = 5x\cos x$

Produktregelen for derivasjon gir at

$ \displaystyle f'(x) = 5\cos x + 5x(- sin x) = 5\cos x - 5x\sin x = 5(cos x - x\sin x)$

b) $ \displaystyle g(x) = \frac{sin (2x)}{x}$

Brøkregelen for derivasjon gir at

$ \displaystyle g'(x) = \frac{2\cos (2x) \cdot x - sin (2x) \cdot 1}{x^2} = \frac{2x cos (2x) - sin (2x)}{x^2}$

Oppgave 2

a) $ \displaystyle \int_0^{1} 2e^{2x} \, \mathrm{d} = 2 \int_0^{1} e^{2x} \, \mathrm{d}x = 2 \left[ \frac{1}{2}e^{2x} \right]_0^{1} = \frac{2}{2} \left[e^{2x} \right]_0^{1} = e^{2 \cdot 1} - e^{2 \cdot 0} = e^2 - 1$

b) $ \displaystyle \int 2x \cdot e^x \, \mathrm{d}x$

$\displaystyle u = 2x$ og $\displaystyle v' = e^x$. Delvis integrasjon gir

$\displaystyle \int 2x \cdot e^x \, \mathrm{d}x = 2x \cdot e^x - \int 2e^x \, \mathrm{d}x + C = 2xe^x - 2\int e^x \, \mathrm{d}x + C = 2xe^x - 2e^x + C = 2e^x(x - 1) + C$

Oppgave 3

a) $\vec{AB} = \left[-2,3,0\right]$ og $\vec{AC} = \left[-2,0,4\right]$

Da blir $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-2) \cdot (-2) + 3 \cdot 0 + 0 \cdot 4 = 4$

og $\vec{AB} \times \vec{AC} = \left[3\cdot4 - 0\cdot0,-\left((-2)\cdot4 - 0\cdot(-2)\right),(-2)\cdot0 - 3\cdot(-2)\right] = \left[12,8,6\right]$

b) $ \displaystyle V = |\frac{1}{6}(\vec{AB} \times {AC})\cdot\vec{AO}| \\ \displaystyle = |\frac{1}{6}\left[12,8,6\right]\cdot\left[-2,0,0\right]| \\ \displaystyle = |\frac{1}{6}\left(12(-2) + 8\cdot0 0+ 6\cdot0\right)| \\ \displaystyle = |\frac{1}{6}(-24) \\ \displaystyle = |- \frac{24}{6}| \\ \displaystyle = |-4| \\ \displaystyle = 4$

Eventuelt kan man regne ut volumet ved hjelp av formelen for volum av pyramide, $V = \frac{G\cdot h}{3}$,

hvor $ \displaystyle G = \frac{|\vec{OA}|\cdot|\vec{OB|}}{2} = \frac{2\cdot3}{2} = 3$ og $ \displaystyle h = |\vec{OC}| = 4$.

Da får man $ \displaystyle V = \frac{3\cdot4}{3} = 4$

c) Om man bruker punktet $A(2,0,0)$ og normalvektoren $\vec{AB} \times \vec{AC} = \left[12,8,6\right]$ blir likningen for planet $\alpha$:

$ \displaystyle 12(x - 2) + 8(y - 0) + 6(z - 0) = 0 \\ \displaystyle 12x - 24 + 8y + 6z = 0 \\ \displaystyle 12x + 8y + 6z = 24 \\ \displaystyle \frac{12x}{24} + \frac{8y}{24} + \frac{6z}{24} = \frac{24}{24} \\ \displaystyle \frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1$

Hvilket skulle vises.

Oppgave 4

a) Rekken er geometrisk fordi neste ledd i rekken genereres ved å multiplisere det forrige leddet med en fast kvotient $k = e^{-1} = \frac{1}{e}$. Ettersom $\frac{1}{e} < 1$, er altså $|k|<1$, hvilket gjør rekken konvergent.

$ \displaystyle S = \frac{a_1}{1-k} = \frac{1}{1-\frac{1}{e}} = \frac{1}{\frac{e}{e} - \frac{1}{e}} = \frac{1}{\frac{e-1}{e}} =\frac{e}{e-1}$

b) I dette tilfellet er $k = e^{-x}$, og rekken er konvergent dersom $|k|<1$.

$ \displaystyle |e^{-x}|<1$

Ettersom $e^{-x}$ alltid vil være positivt, kan man skrive om likningen til

$ \displaystyle e^{-x}<1 \\ \displaystyle \ln(e^{-x})<\ln1 \\ \displaystyle (-x)\cdot\ln(e)<0 \\ \displaystyle -x<0 \\ \displaystyle x>0$

$ \displaystyle S = \frac{a_0}{1-k} = \frac{1}{1-e^{-x}} =\frac{1}{1-\frac{1}{e^x}} = \frac{1}{\frac{e^x}{e^x} - \frac{1}{e^x}} = \frac{1}{\frac{e^{x}-1}{e^{x}}} = \frac{e^x}{e^x - 1}$