Matriser

Innen matematikk og innen særlig lineær algebra, er en matrise en rektangulær tabell med tall eller mer generelle uttrykk. Innholdet i matriser kalles for elementer. For eksempel inneholder matrisen under seks elementer.

<math> \begin{bmatrix} 4 & -3 & 0 \\ 2\pi & 0.3 & 7 \end{bmatrix}</math>

Man har definert regler for å legge sammen, trekke fra hverandre og multiplisere matriser. I tillegg er det mulig å multiplisere en matrise med en skalar, som ofte betegner et reelt eller komplekst tall. Disse operasjonene stiller visse krav til størrelsen på matrisene som er involvert. Med størrelsen på en matrise mener man antall rader og kolonner. Matrisen over har størrelse 2 × 3. Man betegner ofte matriser med store bokstaver, som A, B og M. Når man ønsker å presisere størrelsen til en matrise, kan man skrive <math>A = [a_{i,j}]_{m \times n}</math> der matrisen har størrelse m × n.

Man kan få bruk for matriser i så og si hvert eneste eneste område innen naturvitenskap og teknologi. Innen numerikk har det blitt svært aktuelt å finne algoritmer som gjør at datamaskiner kan utføre ulike matriseoperasjoner på en mest effektiv måte, noe som er essensielt når man behandler store matriser med kanskje flere millioner elementer.

Matriseoperasjoner

En generell matrise A med størrelse m × n ser slik ut:

<math> A = \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1,m} & a_{2,m} & \cdots & a_{m,n} \end{bmatrix} </math>

Likhet

For at to matriser skal være like, må de ha samme størrelse, og elementet i en hvilken som helst rad og kolonne i den første matrisen skal være likt elementet i eksakt samme rad og kolonne i den andre matrisen. Vi kan formulere det matematisk slik: Hvis matrisen <math>A=[a_{i,j}]</math> og matrisen <math>B=[b_{i,j}]</math> er like og begge har størrelse m × n, må vi ha a_i,j = b_i,j for alle i og j med 1 ≤ i ≤ m og 1 ≤ j ≤ n.

Addisjon

For at addisjon mellom to matriser skal være definert, må de ha samme størrelse. Lar vi <math>A=[a_{i,j}]</math> og <math>B=[b_{i,j}]</math> begge være m × n -matriser, definerer vi A + B som en ny matrise hvor elementet i rad i og kolonne j er gitt ved <math>a_{i,j} + b_{i,j}</math>. Under følger et eksempel:

<math> A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} \;\;\; B = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} \;\;\; A+B = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}</math>

Multiplikasjon med en skalar

I lineær algebra omtaler man reelle eller komplekse tall som skalarer. Hvis <math>A=[a_{i,j}]</math> er en matrise av størrelse m × n og c er en skalar, er matrisen cA definert som en ny matrise av størrelse m × n der elementet i rad nr. i og kolonne nr. j er gitt ved ca_i,j. Man multipliserer med andre ord alle elementene i matrisen A med skalaren c. Et eksempel:

<math>A= \begin{bmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 5 & \frac{2}{5} \end{bmatrix} \;\;\; 2A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -6 \\ 0 & 10 & \frac{4}{5} \end{bmatrix} </math>

Når det gjelder differansen mellom to matrise A og B, defineres den som matrisen A + (-B) der -B er matrisen B multiplisert med skalaren -1.

Matriser som lineære transformasjoner

- En matrise representer en avbildning mellom to vektorrom med respekt til gitte basiser.