R2 2024 vår LØSNING

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på matteprat

Løsningsforslag Lektor Seland

DEL 1

Oppgave 1

$f(x)=-x^3+3x$

a)

$\int_{-1}^{0} f(x) dx = \int_{-1}^{0} (-x^3+3x) dx $

$=[-\frac14x^4+\frac32x^2]_{-1}^{0} $

$=0-(-\frac14+\frac32)$

$=\frac14-\frac64$

$=-\frac54$

b)

Finner nullpunktene til f:

$-x^3+3x=0$

$-x(x^2-3)=0$

$-x(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})$

Nullpunkter: $x=-\sqrt3, x=0, x=\sqrt 3$

Vi har ingen nullpunkter i intervallene $[-1,0\rangle$ og $\langle0,1]$

Beregner arealet av området avgrenset av grafen til f, x-aksen og linjene x=0 og x=1:

$\int_{0}^{1} f(x) dx = \int_{0}^{1} (-x^3+3x) dx $

$=[-\frac14x^4+\frac32x^2]_{0}^{1} $

$=(-\frac14+\frac32)-0$

$=-\frac14+\frac64$

$=\frac54$

Samlet areal er summen av arealene i intervallene $[-1,0]$ og $[0,1]$

$A=|-\frac54|+\frac54=\frac{10}{4}=\frac52=2,5$

Arealet av området som er avgrenset av grafen til f, x-aksen og linjene x = −1 og x = 1 er 2,5.

Oppgave 2

Setter $u = sin(x)$. Da er $u'=cos(x)$

$u'=\frac{du}{dx}\Rightarrow dx = \frac{du}{u'}$

$\int sin^3(x)\cdot cos(x)dx$

$=\int u^3 \cdot u' \frac{du}{u'}$

$=\int u^3 du$

$=\frac14 u^4 + C$

$=\frac14 sin^4(x)+C$

Oppgave 3

a)

Eleven prøver å finne hvor mange ledd det trengs i en rekke før summen av rekken blir større enn 200. Hvert ledd er gitt ved $a_n=4n-2$, og første ledd har n=1.

b)

Vi har en aritmetisk rekke, fordi differansen mellom hvert ledd alltid er den samme (4 i dette tilfellet). Summen av en aritmetisk rekke er gitt ved $S=n\cdot\frac{a_1+a_n}{2}$

$n\cdot\frac{2+(4n-2)}{2}=200$

$\frac{4n^2}{2}=200$

$2n^2=200$

$n=\sqrt{100}$ (ingen negativ løsning fordi vi ser etter et positivt antall ledd)

$n=10$

Eleven får skrevet ut verdien 10, som vil si at det summen av de 10 første leddene i rekken er 200 eller mer.

Oppgave 4

a)

$\vec{AC}=[2-1,0-1,-1-0]=[1,-1,-1]$

$\vec{AB}=[4-1,1-1,1-0]=[3,0,1]$

$\vec{AC} \times \vec{AB} = [1,-1,-1]\times[3,0,1]$

$=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\ 1 & -1 & -1\\ 3 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

$=-\vec i -4\vec j +3\vec k$

$= [-1,-4,3]$

Arealet av paralellogrammet utspent av $\vec{AC}$ og $\vec{AB}$:

$|[-1,-4,3]|=\sqrt{(-1)^2+(-4)^2+3^2}=\sqrt{26}$

Arealet av trekant ABC:

$\frac{\sqrt{26}}{2}$

b)

$h=\frac{|\vec{AC}\times\vec{AB}|}{|\vec{AB}|}=\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{3^2+0^2+1^2}}=\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{10}}=\sqrt{\frac{13}{5}}$

c)

Vi har allerede normalvektoren for planet, gitt ved $\vec{AC} \times \vec{AB} = [-1,-4,3]$. Bruker punktet $P(-2,1,4)$ for å få en parameterfremstilling av linja.

$l=\begin{cases} x = -2-t \\ y = 1-4t \\ z = 4 + 3t \end{cases}$

d)

Vi har $P(-2,1,4), \, \vec{n}_\alpha=[-1,-4,3], \, D(0,0,z)$

Retningsvektoren til planet står 90 grader på planet. Den vil altså også stå 90 grader på en linje m som er parallell til planet. Skalarproduktet mellom retningsvektoren til planet og retningsvektoren til linja m må være lik 0.

Retningsvektor til linja m: $\vec{PD}=[0-(-2),0-1,z-4]=[2,-1,z-4]$

$\vec{PD}\cdot\vec{n}_\alpha=0$

$[2,-1,z-4]\cdot[-1,-4,3]=0$

$2\cdot(-1)+(-1)\cdot(-4)+(z-4)\cdot 3=0$

$-2+4+3z-12=0$

$3z=12+2-4$

$z=\frac{10}{3}$

Vi har $D(0,0,\frac{10}{3})$

Oppgave 5

$f(x)=2\cdot sin(\frac{\pi}{6}x-\frac{\pi}{3})-1,\quad D_f=\langle0,20\rangle$

a)

$f(x)=0$

$2\cdot sin(\frac{\pi}{6}x-\frac{\pi}{3})-1=0$

$sin(\frac{\pi}{6}x-\frac{\pi}{3})=\frac 12$

$\frac{\pi}{6}x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi \quad \vee \quad \frac{\pi}{6}x-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi$

$\frac{\pi}{6}x=\frac{3\pi}{6}+k\cdot 2\pi \quad \vee \quad \frac{\pi}{6}x=\frac{7\pi}{6}+k\cdot2\pi$

$x=3+12k \quad \vee \quad x=7+12k$

Siden $D_f=\langle0,20\rangle$, har vi $x=3 \vee x=7 \vee x=15 \vee x=19$.

b)

Generelt har vi $f(x)=A sin(kx+\phi)+d$

Amplituden er $A=2$

Likevektslinja er $d=-1$

Periode: $p=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{6}}=12$

Forskyvning langs likevektslinja: $x_f=-\frac{\phi}{k}=-\frac{-\frac{\pi}{3}}{\frac{\pi}{6}}=2$

DEL 2

Oppgave 1

Bruker CAS i Geogebra.

a)

Farten til ballen idet den blir skutt (etter 0 sekunder) er ca. 31,2 m/s. Se linje 2 i CAS.

b)

Vi finner tidene for når ballen er på bakken, det vil si når z-koordinaten til posisjonsvektoren er lik 0. Det er etter 0 sekunder (fraspark) og 10/7 sekunder (når ballen lander igjen). Se linje 3 i CAS. Vi finner posisjonen etter 10/7 sekunder. Se linje 4 i CAS.

Ballen er ca. 43,4 meter fra hjørnemerket når den treffer fotballbanen igjen.

c)

Det er z-aksen som angir høyden på ballen. Vi finner tiden når ballen er på sitt høyeste. Det er etter 5/7 sekunder (se linje 5 og 6 i CAS).

Farten er da 30,4 m/s (se linje 7 i CAS).

Høyden til ballen er da 2,5 meter over bakken (se på z-koordinaten på linje 8 i CAS).

Oppgave 4

a)

$a_n=n^3$

$a_{n+1}=(n+1)^3$

Rekursiv formel for summen av rekken:

$S_{n+1}=S_n+a_{n+1}=S_n+(n+1)^3$

Eksplisitt formel for summen av rekken, finner vi ved regresjon i Geogebra:

$S_n=0,25n^4+0,5n^3+0,25n^2$

b)

c)

Vi skal bevise $S_n: 1^3+2^3+3^3+...+n^3=0,25n^4+0,5n^3+0,25n^2$

Vi sjekker først om formelen stemmer for n=1 (se linje 2 i CAS). Formelen stemmer for n=1, siden $S_1=1^3=1$.

Vi antar nå at formelen stemmer for n = k, og sjekker om formelen stemmer for n = k + 1. Da vil $S_{k+1}=1^3+2^3+3^3+...+k^3+(k+1)^3=S_k+(k+1)^3$. Se linje 3 og 4 i CAS.

Vi har nå vist at dersom formelen stemmer for n=k , må den også stemme for n=k+1. Siden formelen stemmer for n=1, stemmer den for n=2, osv. $S_k\Rightarrow S_{k+1}$.