Vis kilden til Røtter og potenser med brøkeksponent


==Kvadratrot== 

Kvadratroten av et tall m, er et tall n som ganget med seg selv gir m, og skrives
$ \sqrt {m} $

Hva er kvadratroten av 4? Tallet som ganget med seg selv gir 4 er 2. Det skrives slik: 

<math>\sqrt {4}= \sqrt {2 \cdot 2} = 2 </math>

Mer generelt: dersom n·n = m så er: 
<math>\sqrt{m}= \sqrt{n \cdot n} = n </math>


<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
Man kan ikke ta kvadratroten av et negativt tall. 
</blockquote>

 

Ut fra navnet kvadratrot er det naturlig å tro et det er en sammenheng mellom kvadratrot og kvadrat. La oss se!

[[Bilde:kvadrat.PNG]]

Et kvadrat har sidekanter med lengde k. 

Arealet av kvadratet er k · k, eller k
<math>^2</math>. Dersom man setter k = 10 cm betyr det at arealet av kvadratet er 100cm <math>^2</math>. Dersom man kjenner arealet av et kvadrat kan vi bruke kvadratroten til å finne lengden av sidekantene. 
<p></p>
Et kvadrat med areal 81 cm <math>^2</math> har sidekanter med lengde: 

<math>L = \sqrt{81cm^2}=9cm</math>

Kvadratroten kalles av og til for andreroten og kan også skrives slik:

<math> \sqrt{x}=\sqrt[2]{x}</math><br>
Det er nyttig å vite dette, men man bruker <math> \sqrt{x}</math> når man ønsker å skrive kvadratroten av x.


[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=8A9%2B8AA%2B8AB%2B8AC%2B8AD%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]

== n'terot ==
På samme måten som man kan ta kvadratroten, eller andreroten av at tall, er det også mulig å ta tredjeroten. Tenk deg en terning med sidekanter k. Vi setter k = 5cm. Volumet av terningen blir V = k <math>^3</math> =k · k · k = 5cm · 5cm · 5cm = 125cm <math>^3</math>.<br>

[[Bilde:volum kube.PNG]]


Tredjeroten, eller kubikkroten som den også kalles, kan man bruke til å finne sidekanten av en terning dersom man kjenner volumet. Eksemplet over løser man på følgende måte:

<math>\sqrt[3]{124cm^3}</math>

Når man skal finne tredjeroten jakter vi på det tallet som, ganget med seg selv tre ganger, har et produkt tilsvarende tallet under rottegnet. Vi kan skrive et generelt utrykk slik: 

<math>\sqrt[n]{a}</math>

Her må n være et helt positivt tall. Dersom n = 2 (kvadratrot) pleier vi utelate 2 - tallet.


<math>\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2 \cdot2 \cdot2 \cdot 2} =2 </math><br>
<math>\sqrt[5]{x^5} = \sqrt[5]{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x} =x </math>



[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=8A9%2B8AA%2B8AB%2B8AC%2B8AD%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]

== Rot som potens & brøk eksponent ==

===Regneregler===



<table border="1" cellpadding="10">
<tr>
<td>'''Nr.'''</td>
  <td>'''REGEL'''</td>
  <td>'''EKSEMPEL'''</td>
  <td>'''FORUTSETNING'''</td>
</tr>

<tr>
 <td> 1 </td>

  <td> $ \sqrt[n]{a}= a^{\frac{1}{n}} $ </td>
  <td><math> \sqrt [5]{32}= 32^{\frac{1}{5}}=2</math></td>
  <td>a er et positivt tall og n er et naturlig tall</td>
</tr>


<tr>
 <td> 2 </td>
  <td>  <math>a^{\frac{m}{n}}= \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m</math>  <br></td>
  <td><math>27^{\frac{2}{3}}= \sqrt[3]{27^2} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9</math> </td>
  <td>a er et positivt tall, m og n er hele tall og n er positiv</td>
</tr>
<tr>
 <td> 3 </td>
  <td> <math>(ab)^{\frac1n}=\sqrt[n]{a \cdot b} =\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b} </math></td>
  <td> <math>(16x^8)^{\frac14}=\sqrt[4]{16 \cdot x^8} =\sqrt[4]{16}\cdot \sqrt[4]{x^8}<br>=\sqrt[4]{2 \cdot 2\cdot 2 \cdot2}\cdot \sqrt[4]{x \cdot x \cdot x\cdot x\cdot x \cdot x \cdot x \cdot x} = 2x^2</math> </td>
  
</tr>
<tr>
 <td> 4 </td>
  <td>  <math>( \frac ab)^{\frac 1n} =\sqrt[n]{\frac ab}= \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{a}}  </math>  </td>
  <td> <math>( \frac {8}{27})^{\frac 13} =\sqrt[3]{\frac {8}{27}}= \frac{2}{3}  </math>  </td>
  <td></td>
</tr>

</table>


[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=8A9%2B8AA%2B8AB%2B8AC%2B8AD%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv regel 1] <p></p>
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=8A9%2B8AA%2B8AB%2B8AC%2B8AD%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv regel 2]<p></p>
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=8A9%2B8AA%2B8AB%2B8AC%2B8AD%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv regel 3]<p></p>
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=8A9%2B8AA%2B8AB%2B8AC%2B8AD%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv regel 4]

===Samensatte problemer===

Ofte er en kombinasjon av flere regler nødvendig for å løse et problem:


<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
'''Eksempel 1'''<p></p> <p></p>


Skriv <math> \sqrt{a} \cdot a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{- \frac {1}{6}}</math> enklest mulig. 
<p></p> 
<p></p> 
<p></p>


<math> \sqrt{a} \cdot a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{- \frac {1}{6}} = 
a^{\frac{1}{2}+ \frac {2}{3} - \frac {1}{6}} =
a^{\frac{3}{6}+ \frac {4}{6} - \frac {1}{6}} =
a^{\frac{6}{6}} = a
</math>
</blockquote>


<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
'''Eksempel 2'''<p></p> <p></p>


<math> \frac{\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} } {( \sqrt[12]{a})^5 } = 
\frac{a^{\frac13} \cdot a^ {\frac14}  } {a^{\frac{5}{12}} } = 
a^{\frac13+\frac14-\frac{5}{12}}= a^{\frac{4}{12}+\frac{3}{12}-\frac{5}{12}}= a^{\frac{2}{12}}
= a^{\frac{1}{6}}= \sqrt[6]{a}
</math>
 
</blockquote>


<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
'''Eksempel 3'''<p></p> <p></p>


<math> \frac {(3a)^{\frac12} \cdot (3\sqrt{a})^{\frac{2}{3}}}{a^{-\frac 12}\cdot (3a^5)^{\frac16}} = 
3^{\frac{1}{2}+ \frac {2}{3} - \frac {1}{6}}\cdot a^{\frac{1}{2}+ \frac {2}{6} -(- \frac {1}{2})- \frac56} =
3^{\frac{3}{6}+ \frac {4}{6} - \frac {1}{6}}\cdot a^{\frac{3}{6}+ \frac {2}{6} + \frac {3}{6}- \frac56} = 3 \cdot a^{ \frac 12} = 3 \cdot \sqrt a
</math>

</blockquote>



[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=85A%2B85B%2B85C%2B85D%2B85E%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]


[[Category:Algebra]][[Category:1T]][[Category:S1]][[Category:Ped]]