Vis kilden til Logaritme- og eksponential-likninger

== Innledning ==
For å løse logaritmelikningene i 1T kurset må du kunne litt om logaritmer. Nedenfor finner du de du må beherske. Dersom du ønsker å vite mer finner du det i R1 kurset under [[logaritmer]].

----

Logaritmen til et tall x med basis b er definert som den inverse funksjonen til <math>b^x</math> (b opphøyd i x). En logaritme kan ha forskjellige basiser eller grunntall (større enn null og ikke lik en). Det vanligste grunntallet for en logaritme er 10 og betegnelsen er log eller lg.(Den [[naturlige logaritmen ln]] har [[grunntall e]] og behandles separat.) Dersom andre grunntall brukes er det spesifisert, for eksempel dersom grunntallet er 2 skrives det slik: <math>log_2 x</math>.<br><br>
Logaritmer av forskjellige basiser er relatert ved at
:<math>\log_na=\frac{\log_ma}{\log_mn}</math>

Logaritmer med grunntall 10 kalles den briggske logaritmen , etter matematikeren Henry Briggs. Vi har følgende definisjon:<br>

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
<math>10^{log a} = a  </math><br><br>
<math>log 1000 = 3\qquad \text{fordi} \qquad 10^3 = 1000 </math><br><br>
<math>log 1 = 0 \qquad \text{fordi} \qquad 10^0 = 1 </math><br><br>
<math>log 0,01 = -2 \qquad \text{fordi} \qquad 10^{-2} = 0,01 </math><br><br>

Man kan ikke ta logaritmen til et negativt tall.
</blockquote>



 
===Logaritmen av en potens===



<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
<math> log a^x = x \cdot log a </math>
 
</blockquote>
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
<math> log 100^{24} = 24 \cdot log 100 =24 \cdot 2 = 48 </math>
 
</blockquote>


[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=85F%2B860%2B861%2B862%2B863%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]

== Eksponential-likninger ==

Så langt har vi befattet oss med ligninger der den ukjente er grunntallet. Dersom den ukjente er i eksponenten får vi ligninger av typen: 
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
<math>m \cdot a^x = n</math> <br><br>
 der a, m og n er tall. <br><br>

Ligningen løses på følgende måte: <br><br>
<math> a^x = \frac nm</math> <br><br>
<math> log(a^x) = log(\frac nm)</math> <br><br>
<math> x \cdot loga = log(\frac nm)</math> <br><br>
<math> x  = \frac{log(\frac nm)}{log a}</math> <br><br>
</blockquote>


<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">

'''Eksempel'''<br><br>

<math>0,23 \cdot 3^x = 5</math> <br><br>
<math> 3^x = \frac {5}{0,23} </math> <br><br>
<math> log(3^x) = log(\frac {5}{0,23}) </math> <br><br>
<math> x \cdot log3 = log 21,74</math> <br><br>
<math> x  = \frac{log 21,74}{log 3}</math> <br><br>
<math> x  = \frac{1,34}{0,48}</math> <br><br>
<math> x  = 2,79</math> <br><br>

</blockquote><br><br>

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">

'''Eksempel'''<br><br>

Du setter  5000 kroner i banken og får 4 prosent renter per år. Hvor mange år må pengene stå i banken før du har 25000 kroner?<br><br>

<math> 25000 = 5000 \cdot 1,04^x </math> <br><br>
<math> 1,04^x = \frac{25000}{5000}</math> <br><br>
<math> 1,04^x = 5</math> <br><br>
<math> log(1,04^x) = log 5</math> <br><br>
<math> x \cdot log 1,04 = log 5</math> <br><br>
<math> x  = \frac {log 5}{log 1,04}</math> <br><br>
<math> x  = 41</math> <br><br>
Det tar 41 år før 5000 kroner vokser til 25000 kroner med 4 prosent renter.
</blockquote>

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">

'''Eksempel'''<br><br>

Kari har 20000 kroner. Per har 40000 kroner. Kari setter sine penger i banken og får en rente på  3,5 prosent per år. Per kjøper en bil til 40000 for sine penger. Den taper seg i verdi med 9 prosent per år. Når har Karis sparepenger den samme verdi som Pers bil?<br><br>

<math> 20000 \cdot 1,035^x = 40000 \cdot 0,91^x </math> <br><br>
<math> \frac {1,035^x}{  0,91^x}= \frac{40000}{20000}</math> <br><br>
<math> (\frac {1,035}{  0,91})^x= 2 </math> <br><br>
<math> x log(\frac {1,035}{  0,91})= log 2 </math> <br><br>
<math> x= \frac {  log 2}{  log (\frac {1,035}{  0,91}) } </math> <br><br>
<math> x= 5,4 </math> <br><br>
Det tar ca fem og et halvt år før veriden av Karis formue har samme verdi som Pers bil.
</blockquote>


== Logaritme-likninger ==
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">

<math>log x = a </math>
<br><br>
<math>x = 10^a </math>

</blockquote>
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
'''Eksempel:'''<br><br>
<math>5 \cdot log x = 10 </math>
<br><br>
<math>x = 10^2 </math><br><br>
<math>x = 100 </math>
</blockquote>


<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
'''Eksempel:'''<br><br>
<math>log (x^2 - 21) = 2 </math>
<br><br>
<math>x^2 - 21 = 100 </math><br><br>
<math>x = \pm 11 </math>
</blockquote>



[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=85F%2B860%2B861%2B862%2B863%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]