Vis kilden til Komplekse tall

Z =a + ib er formen komplekse tall skrives på. a og b er reelle tall mens i er den imaginære enheten. <math>i^2</math> er størrelsen som tilfredstiller
<math> i^2= -1</math>.

Kvadratroten av -1 = i. Det betyr at andregradslikninger alltid har en løsning innenfor denne tallmengden.

a kalles for realdelen og skrives ofte a = Re(Z), b kalles for imaginærdelen og skrives ofte b = Im(Z).

Mengden av alle komplekse tall kalles for C. De reelle tallene er inkludert i C. 

For å visualisere de komplekse tallene kan vi bruke XY planet. Vi setter a =X og b = Y. Det komplekse planet C ser da slik ut:

[[Bilde:Kompleksplan.gif]]


== REGNEREGLER FOR KOMPLEKSE TALL ==
 

Potenser av <math>i^n</math> kan alltid reduseres til pluss/minus 1 eller pluss/minus i. Eksempelvis er <math>i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = - i</math>

Summering av to komplekse tall gjøres ved å summere realdelen for seg og imaginærdelen for seg. Dersom vi skal summere <math>Z_1 = 1 + 2i \quad og \quad Z_2 = 2 + 2i</math> blir resultatet <math>Z_3 = 3 + 4i</math> 

Generelt kan summen av det komplekse tallene Z = a + ib og W = c + id uttrykkes som 

Z + W = (a + c) + i(b + d).

Vi kan oppfatte de komplekse tallene som vektorer i det komplekse plan. Regneoperasjonen over kan da fremstilles slik; 

[[Bilde:Kompleksplan2.gif]]

Lengden av linjestykket <math>OZ_n</math> kan vi finne ved å bruke Pytagoras. Lengden er gitt ved <math>|Z_n| = \sqrt{a^2 + b^2}</math>. <math>|Z_n|</math> kalles absoluttverdien eller modulen av det komplekse tallet <math>Z_n</math> 

Subtraksjon utføres ved å subtrahere realdelen for seg og imaginærdelen for seg, altså analogt til addisjon. Generelt har vi

Z - W = (a - c) + i(b - d) 

Vi kan oppgi det komplekse tallet som et produkt av lengden <math>OZ_n</math> og vinkelen mellom X aksen og linjestykket <math>OZ_n</math>.

[[Bilde:Kompleks3.gif]]

Fra figuren over ser vi at Z kan utrykkes som lengden av OZ og θ. Dersom vi kaller absoluttverdien av Z for r får vi : 

Z = r(cos θ + isin θ). θ kalles argumentet til Z og skrives arg Z. Argumentet til Z er entydig bestemt i [0,2π >
 
punktet <math> \overline{Z}= a-bi</math> kalles det konjugerte komplekse tallet til Z.

en viktig egenskap er:<p></p>
<math>Z \cdot \overline{Z} = a^2 + b^2 =|Z|^2</math>

'''Multiplikasjon.'''<p></p>
Multiplikasjon utføres på vanlig måte: <p></p><math>(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i</math>
<p></p>
'''Divisjon.'''<p></p>
Vi multipliserer teller og nevner med det konjugerte komplekse tallet til nevneren. Da får vi et reelt tall i nevneren:<p></p>
<math>\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac {ac-adi +bci -bdi^2}{c^2 -cdi + cdi -d^2i^2}= \frac {ac+bd -(ad-bc)i}{c^2 + d^2}</math>
----
[[X Hovedside | Tilbake til X hovedside]]
----
[[kategori:lex]]