Vis kilden til R2 2023 høst LØSNING

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4839 Oppgaven som PDF]

[https://lektorseland.no/Løsningsforslag/Eksamen_R2_H23_Løsning_PDF.pdf Løsningsforslag fra Lektor Seland]

[https://youtu.be/LkUdfw-RQhU Videoløsning del 1 av Lektor Lainz]

[https://youtu.be/4U2OfG5Ok2E Videoløsning del 2 av Lektor Lainz]

[https://drive.google.com/file/d/10Jh8XKeRJ-G3tiohP7nQ5azXnLDA5M_c/view?usp=drive_link Løsningsforslag laget av OpenMathBooks prosjektet]

=DEL 1=

==Oppgave 1==

$\int_{-1}^{1}(x^3+2x)dx$

$=[\frac 14 x^4+x^2]_{-1}^{1}$

$=(\frac 14+1)-(\frac 14+1)=0$

Svaret forteller meg enten at arealet av området som er avgrenset av grafen, x-aksen og linjene x = −1 og x = 1 er lik 0, eller at det er et like stort område over og under x-aksen i dette intervallet. Det er det siste som er tilfellet her.

==Oppgave 2==

Den blå grafen er g(x)=sin x, fordi sin(0)=0. Den rød grafen er da f(x)=cos x, og den krysser y-aksen i y=1 fordi cos(0)=1.

Skjæringspunkt mellom f og g:

$sin\, x = cos\, x$

$x = \frac{\pi}{4} +k\pi$

Skjæringspunktene mellom f og g i det fargelagte området:

$x=-\frac{3\pi}{4}$ og $x=\frac{\pi}{4}$

Areal av det fargelagte området:

$\int_{-\frac{3\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} cos\,x\,dx - \int_{-\frac{3\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} sin\,x\,dx$

$=(sin\,(\frac{\pi}{4}) - sin (-\frac{3\pi}{4})-(-cos\,(\frac{\pi}{4})+cos(-\frac{3\pi}{4}))$

$=\frac{\sqrt2}{2}-(-\frac{\sqrt2}{2})-(-\frac{\sqrt2}{2}+(-\frac{\sqrt2}{2}))$

$=2\frac{\sqrt2}{2}+2\frac{\sqrt2}{2}=4\frac{\sqrt2}{2}=2\sqrt2$

Arealet av det fargelagte området vist på figuren er $2\sqrt2$.

==Oppgave 3==

===a)===

$S = \frac{a_1}{1-k}$

Siden rekken konverger mot 8 må k være $\frac 12 $ :

$8 = \frac{4}{1-k} \Rightarrow k= \frac 12$


$S_4 = 4+2+1+ \frac 12 = 7,5$

===b)===

I en aritmetisk rekke øker leddene med en fast verdi d.

$a_1 = a_4 - 3d $

$a_7 = a_4 + 3d$

$a_1 + a_4 + a_7 = 114$

$a_4 -3d + a_4 + a_4 +3d =114$

$3 a_4 = 114$

$a_4 = 38$

==Oppgave 4==

===a)===

Vi har $\alpha: x-2y+2z+1=0$ og $A(4,2,2)$

$\vec{n}_{\alpha}=[1,-2,2]$

$l=\begin{cases} 
x = 4+t \\ 
y = 2-2t \\ 
z = 2+2t 
\end{cases}$

===b)===

$d=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$, der $(x_0,y_0,z_0)$ er koordinatene til punkt A.

$=\frac{1\cdot4-2\cdot2+2\cdot2+1}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}}$

$=\frac{5}{\sqrt9}=\frac53$

Asvtanden fra A til $\alpha$ er $\frac{5}{3}$

==Oppgave 5==

===a)===

Programmet regner ut arealet av flaten som er avgrenset av f(x), x- aksen, linjen x = -2 og linjen x = 2.

===b)===

$f(x) = x^2-1$

Funksjonen har nullpunkter for x=-1 og x= 1. Mellom disse ligger den under x aksen. Den er symmetrisk om y-aksen. Vi integrerer fra -2 til -1 og fra -1 til 0. Til slutt multipliserer vi med 2, for å finne hele arealet.

$A= 2 \cdot ( \int_{-2}^{-1}(x^2-1)dx +| \int_{-1}^{-0}(x^2-1))dx | $

$ = 2 \cdot ( [\frac 13 x^3- x ]_{-2}^{-1} + | [ \frac 13 x^3 - x]_{-1}^{0}) | $

$= 2 \cdot ( (\frac {-1}{3}+1) -(  \frac {-8}{3} +2) + | ((0)- (\frac{-1}{3} + 1) |$

$ = 2 \cdot ( \frac 43 + \frac 23) $

$ = 2 \cdot \frac 63 $

$= 4$

==Oppgave 6==

Arealet av sideflaten BCGF er

$\frac12 |\vec{BF}\times\vec{BC}|+\frac12 |\vec{GF}\times\vec{GC}|$

Regner ut $\vec{BF}\times\vec{BC}$

$=\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k\\
-1 & -1 & 3\\
-4 & 0 & 0
\end{vmatrix} $

$=0\vec i -12\vec j -4\vec k$

$=[0,-12,-4]$

Regner ut $\vec{GF}\times\vec{GC}$

$=\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k\\
2 & 0 & 0\\
-1 & 1 & -3
\end{vmatrix}$

$=0\vec i +6\vec j +2\vec k$

$=[0,6,2]$

Arealet av sideflaten BCGF er

$\frac12 |\vec{BF}\times\vec{BC}|+\frac12 |\vec{GF}\times\vec{GC}|$

$\frac12 |[0,-12,-4]|+\frac12 |[0,6,2]|$

$=\frac12 \sqrt{0^2+12^2+4^2}+\frac12\sqrt{0^2+6^2+2^2}$

$=\frac12 \sqrt{160}+\frac12\sqrt{40}$

$=\frac12 \cdot 4\sqrt{10}+\frac12\cdot2\sqrt{10}$

$=3\sqrt{10}$

=DEL 2=

==Oppgave 1==

===a)===

Bruker regresjonsanalyse i Geogebra og velger en sinusfunksjon som modell.
[[File:R2_H23_del2_1.png|700px]]

Modellen for vannstanden ved verftet er $f(x)=31sin(0,514x+0,19)+83,6$

===b)===

Bruker CAS i Geogebra. Den 25. april begynner 24 timer etter 24. april.
[[File:R2_H23_del2_1b.png|400px]]
Ifølge modellen vil vannstanden øke raskest ca. 24,1t og 36,3t etter 24. april, altså like etter midnatt og like etter kl. 12 den 25. april.

===c)===

Løser oppgaven grafisk i Geogebra denne gangen.
[[File:R2_H23_del2_1c.png|700px]]

De kan senest starte med å slepe ut plattformen 42 - 2  = 40 timer etter 24. april, altså kl. 16 den 25. april.

==Oppgave 2==

===a)===

$P_1=1$

Etter det øker antall kuler i figuren med 5*(n-1) for hver figur.

$P_2=P_1+5\cdot1$

$P_3=P_2+5\cdot2$

$P_n=P_{n-1}+5\cdot(n-1) = P_{n-1}+5n-5$

===b)===

Programmerer i Python.

[[File: R2_H23_del2_2b.png|500px]]

$P_{100}=24\,751$

===c)===

Bruker regresjonsanalyse i Geogebra for å finne en eksplisitt formel.

[[File: R2_H23_del2_2c1.png|500px]]

$P_n=2,5n^2-2,5n+1$

Vi skal vise at $P_{n-1}+5n-5=2,5n^2-2,5n+1$. Bruker CAS i Geogebra.

[[File: R2_H23_del2_2c2.png|250px]]

Vi sjekker først om formelen stemmer for n=1 (se linje 2 i CAS). Formelen stemmer for n=1, siden $P_1=1$.

Vi antar nå at formelen stemmer for n = k, og sjekker om formelen stemmer for n = k + 1. Da vil $P_{k+1}=P_k+5(5+1)-5$. Se linje 3 og 4 i CAS.

Vi har nå vist at dersom formelen stemmer for n=k , må den også stemme for n=k+1. Siden formelen stemmer for n=1, stemmer den for n=2, osv. $P_k\Rightarrow P_{k+1}$.

==Oppgave 3==

Bruker CAS i Geogebra.

[[File: R2_H23_del2_3.png|300px]]

Volumet av tønnen er omtrent 145 562 kubikkcentimeter, det vil si ca. 145,6 L.

==Oppgave 4==

===a)===

Vi har $M(t)=A\cdot sin(ct+k)+d$

Perioden er på 24 timer.

$\frac{2\pi}{c}=24$ 

$c = \frac{\pi}{12}$

Amplituden A:

$A=\frac{31,2-18,2}{2}=\frac{13}{2}=6,5$

Likevektslinja d:

$d=18,2+\frac{13}{2}=\frac{247}{10}=24,7$

===b)===

Bruker Geogebra.

[[File: R2_H23_del2_4b.png|600px]]

Jeg bruker opplysningen om at $M(13)=27$ for å finne k (se linje 2 i CAS). Deretter tegner jeg en grafene N og P, med hver sin k-verdi fra linje 2. Jeg ser at den oransje grafen til N stemmer med at forurensningen øker på morgenen (fra ca. kl. 6) og avtar på kvelden (fra ca. kl. 18). Det vil si at k=-3.042. Jeg angir dette i CAS (linje 3), og løser $M(t)=27$. Da får jeg tidspunktene $t=13$ og $t=22.24$

Det andre tidspunktet luftforurensningen er på $27\,\mu g/m^3$ er ca. kl. 22:14.

==Oppgave 5==

===a)===

[[File: R2_H23_del2_5a.png|300px]]

p er normalvektoren til xy-planet. Skalarproduktet av p og den deriverte av $r_1(t)$ er lik 0 der hvor den deriverte er parallell med xy-planet (står da ortogonalt på p).

Tangenten i punktet $C=(0,\pi,-1)$ er parallell med xy-planet.

===b)===

Bruker CAS til å sjekke om skalarproduktet mellom $r'(t)$ og $r''(t)$ alltid er 0. 

[[File: R2_H23_del2_5b.png|150px]]

Siden dette er "True" (sant) gjelder det for alle t.

===c)===



===d)===