Vis kilden til Andregradslikninger

== Innledning ==

Fra siden om [[potenser uten brøkeksponent]] vet vi at $x \cdot x = x^2$. Sagt med ord sier vi at "$x$ multiplisert med seg selv er lik $x$ i andre". 
Andregradslikninger inneholder alltid et ledd hvor $x^2$ er en faktor.  
<br>

En andregradslikning er en likning på formen $ax^2 + bx + c = 0$, der $a$, $b$ og $c$ er konstanter og $a \neq 0$. Konstantene i en annengradslikning kalles koeffisienter. 

En løsninger av en likning kalles også en ''rot'' i likningen.  Å finne røttene i en likning er altså det samme som å løse likningen.

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">

En fullstendig andregradslikning skrives på formen

:<math>
\displaystyle
ax^2 + bx + c  = 0
</math>

Likningen har tre ledd:

* <math> ax^2 </math> kalles andregradsleddet, 
* <math> bx </math> kalles førstegradsleddet, 
* <math> c </math> kalles konstantleddet.

</div>

<br>
<br>

== Ufullstendig likninger ==

Dersom minst en av koeffisientene $b$ eller $c$ er lik null sier vi at andregradslikningen er ufullstendig.  
Dette er spesialtilfeller av andregradslikninger, fordi én av koeffisientene er lik null, slik at likningene mangler et ledd.

Dersom $a = 0$ har vi en førstegradslikning som løses med metoden beskrevet i [[likninger av første grad]]. 

<br>

=== Tilfellet b = 0 ===

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">


Dersom $b = 0$ ser likningen slik ut:<br>

:<math>
\displaystyle
ax^2 + c = 0
</math>

Denne løses med "bytt og flytt", for så å ta kvadratrot:

:<math>
\begin{aligned}
x = \pm \sqrt {- \frac {c}{a}}
\end{aligned}
</math>

Legg merke til at enten $a$ eller $c$ (men ikke begge!) må være negativ for at denne likningen skal ha en løsning. Vi kan ikke ta kvadratroten av et negativt tall.
</div>

<br>

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel:'''

<br>

Løs likningen

:<math>
\displaystyle
4x^2 - 8 = 0
</math>

Vi løser ved "bytt og flytt" og deretter ta kvadratroten:

:<math>
\begin{aligned}
4x^2 &= 8 \\
x^2 &= \frac84 \\
x &= \pm \sqrt { \frac {8}{4}}
\end{aligned}
</math>

:<math>
\displaystyle
x = \sqrt {2} \qquad \vee \qquad  x = - \sqrt {2} 
</math>

</div>

<br>

=== Tilfellet c = 0 ===

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
<br>
Dersom $c = 0$ har vi følgende formel:

:<math>
\displaystyle
ax^2 + bx = 0
</math>

Vi løser ved faktorisering:

:<math>
\displaystyle
x (ax + b) = 0
</math>

:<math>
\begin{aligned}
x = 0  \qquad &\vee \qquad   ax + b = 0 \\
x = 0  \qquad &\vee  \qquad   x  = - \frac ba 
\end{aligned}
</math>

</div>

<br>

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel:'''

<br>

Løs likningen

:<math>
\displaystyle
-3x^2 + 6x = 0
</math>

Løsning ved faktorisering:

:<math>
\displaystyle
x (-3x + 6) = 0 
</math>

:<math>
\begin{aligned}
x = 0  \qquad &\vee  \qquad   -3x + 6 = 0 \\
x = 0  \qquad &\vee  \qquad   x  = 2
\end{aligned}
</math>

</div>



== ABC-formelen ==

En andregradslikning på formen $ax^2 + bx + c =0$ kan alltid løses ved hjelp av ABC-formelen, som ser slik ut:


<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">

ABC-formelen er

:<math>
\displaystyle
x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
</math>

når

:<math>
\displaystyle
ax^2 + bx + c =0
</math>

Dersom $b^2-4ac$ er positiv, vil likningen ha to ulike løsninger.  Dersom $b^2-4ac = 0$ kan vi si at likningen har en enkelt løsning - eller også to like løsninger.
 </div>
 
<br>
$a$, $b$ og $c$ er koeffisientene i andregradsuttrykket. Legg merke til at dersom $b^2 - 4ac$ er mindre enn null, får man et negativt tall under rottegnet. Man sier da at likningen ikke har reelle løsninger. 
(I høyere kurs viser man at likningen kan ha [[komplekse løsninger]]).<br><br>

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel 1:''' 

<br>

Løs likningen

:<math>
\displaystyle
3x^2 + 2x - 1 =0
</math>

Likningen har koeffisenter $a = 3$ , $b = 2$ og $c = -1.$<br>

Ved å bruke ABC-formelen får man:

:<math>
\begin{aligned}
x &= \frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3} \\ \\
&= \frac{-2 \pm \sqrt{4+12}}{6} \\ \\
&= \frac{-2 \pm 4}{6} 
\end{aligned}
</math>

Likningen har to ulike løsninger:

:<math>
\begin{aligned}
x = \frac{-2 + 4}{6} \qquad &\vee  \qquad x= \frac{-2 - 4}{6} \\ \\
x =  \frac{1}{3} \qquad &\vee  \qquad x = - 1 
\end{aligned}
</math>

</div>

<br>
<br>

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;"><br>
'''Eksempel 2:''' 

<br>

Finn røttene i likningen

:<math>
\displaystyle
-x^2 + 4x - 4 =0
</math>

Koeffisientene er $a = -1$ , $b = 4$ og $c = -4.$

<br>

Ved å bruke ABC-formelen får man:

:<math>
\begin{aligned}
x &= \frac{-4 \pm \sqrt{4^2-4 \cdot (-1) \cdot (-4)}}{2 \cdot (-1)} \\ \\
&= \frac{-4 \pm \sqrt{16-16}}{-2}
\end{aligned}
</math>

Med null under rottegnet får man kun en løsning, $x = 2$.  

</div>

<br>
<br>

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel 3:''' 

<br>

Løs likningen:

:<math>
\displaystyle
3x^2 + 2x + 2 =0
</math>

Koeffisientene er $a = 1$ , $b = -2$ og $c = 2$.

<br>

Ved å bruke ABC-formelen får man:

:<math>
\begin{aligned}
x &= \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2-4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} \\ \\ 
&= \frac{2 \pm \sqrt{4-8}}{2} \\ \\
&= \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2}
\end{aligned}
</math>

Her ser man et man får et negativt tall under rottegnet. Da er det på tide å stoppe opp og konkludere med at likningen ikke har reell løsning.
</div>

<br>

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel 4:''' 

<br>

Løs likningen:

:<math>
\displaystyle
4x^2 - 1 =0
</math>

Koeffisientene er $a = 4$ , $b = 0$ og $c = -1.$

<br>

Likningen mangler førstegradsleddet ($b = 0$), og det enkleste i dette eksempelet er å bruke "bytt og flytt" og så ta kvadratroten, som vist over.  
Det er også fullt mulig å bruke ABC-formelen, og da får man:

:<math>
\begin{aligned}
x &= \frac{ \pm \sqrt{-4 \cdot 4 \cdot (-1)}}{2 \cdot 4} \\ \\
&= \frac{ \pm \sqrt{16}}{8} \\ \\
&=\pm \frac{  4}{8}  
\end{aligned}
</math>

Likningen har to løsninger:

:<math>
\displaystyle
x= \frac{1}{2} \qquad \vee  \qquad x= - \frac{1}{2}
</math>

</div>

<br><br>

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel 5:''' 

<br>

Løs likningen:

:<math>
\displaystyle
-3x^2 + 6x = 0
</math>

Koeffisentene er $a = -3$ , $b = 6$ og $c = 0.$

<br>

Ved å bruke ABC-formelen får man:

:<math>
\begin{aligned}
x &= \frac{-6 \pm \sqrt{6^2}}{-6} \\ \\ 
&= \frac{-6 \pm 6}{-6}
\end{aligned}
</math>

:<math>
\displaystyle
x= 2 \qquad \vee  \qquad x= 0 
</math>

Man ser at ABC-formelen virker her også, men siden konstantleddet mangler ($c = 0$), ville det være mer fornuftig å faktorisere ut $x$ og løse likningene som vist over.
</div>

<br>
<br>

== Grafisk fremstilling av andregradslikninger ==


Hvorfor har noen likninger to løsninger, noen en og andre ingen?   Det kan vi forstå dersom vi studerer grafen til andregradspolynomet i likningen.  
Løsninger i likningen finner vi som verdieneav $x$ der grafen skjærer $x$-aksen, det vil si der $y = 0$.

Figuren under viser tre ulike andregradspolynom.  

<br>

[[Bilde:2likn.PNG]]

<br><br>

Dersom grafen til andregradspolynomet krysser $x$-aksen, har likningen to løsninger. Likningen $g(x) = 0$ har to løsninger fordi $b^2-4ac>0$, og grafen til $g(x)$ skjærer $x$-aksen ''to'' steder.

Dersom grafen tangerer $x$-aksen har likningen en løsning.  Likningen $f(x) = 0$ har en løsning fordi $b^2-4ac=0$. Grafen til $f(x)$ tangerer $x$-aksen i ett punkt, i $x= \frac{-b}{2a}$.

Dersom grafen til polynomet ikke krysser eller tangerer $x$-aksen, har likningen ingen løsning. Likningen $h(x) =0$ har ingen løsning fordi $b^2-4ac<0$.  Man kan ikke ta kvadratroten av et negativt tall. <br><br> 

<br>
<br>

== Bevis for ABC-formelen ==

For å bevise ABC-formelen bruker en [[kvadratsetningene|første kvadratsetning]], som vist i det følgende avsnittet.

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">

:<math>      
\begin{aligned}
ax^2 + bx + c &= 0 \\ \\
x^2 + \frac bax + \frac ca &= 0  \\ \\
x^2 + \frac bax  &= - \frac ca   \\ \\
x^2 + 2\frac {b}{2a}x  &= - \frac ca \\ \\
x^2 + 2\frac {b}{2a}x + (\frac {b}{2a})^2 &= - \frac ca + (\frac {b}{2a})^2  \\ \\ 
(x +\frac {b}{2a})^2 &= - \frac ca + \frac {b^2}{4a^2} \\ \\
(x +\frac {b}{2a})^2 &= - \frac {4ac}{4a a} + \frac {b^2}{4a^2} \\ \\
(x +\frac {b}{2a})^2 &= \frac {-4ac+b^2}{4a^2}  \\ \\
(x +\frac {b}{2a}) &= \pm \sqrt{\frac {b^2 -4ac}{4a^2}} \\ \\
x &= -\frac {b}{2a} \pm {\frac {\sqrt {b^2 -4ac}}{2a}}  \\ \\
x &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{aligned}
</math>


</div>

<br>
<br>

== Fullstendig kvadrat ==

Man kan bygge opp et fullstendig kvadrat ved å ''halvere, kvadrere, addere.....''
<br>
For å kunne bruke teknikken må du kunne [[kvadratsetningene]] godt.

<br>
Det følgende eksempelet viser hvordan det gjøres:


<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel: ''' 

<br>

Løs likningen

:<math>
\displaystyle
2x^2 - 3x +1 = 0
</math>

Vi omformer likningen:

:<math>
\begin{aligned}
x^2 - \frac 32 x + \frac 12 &=0  \\ \\
x^2 - \frac 32 x  &= - \frac 12 \\ \\
x^2 - \frac 32 x  &= - \frac 12 \\ \\
x^2 - \frac 32 x  + ( \frac 34)^2 &= - \frac 12 + ( \frac 34)^2 \\ \\
(x - \frac 34)^2 &=  \frac {1}{16}   
\end{aligned}
</math>

:<math>
\begin{aligned}
x - \frac 34 = \sqrt{ \frac {1}{16}}\qquad   &\vee \qquad  x - \frac 34 = -\sqrt{ \frac {1}{16}} \\ \\
x = 1\qquad   &\vee \qquad  x = \frac {1}{2}
\end{aligned}
</math>

</div>

<br>

Dersom du sliter med algebra bør du kanskje holde deg til ABC-formelen, men dersom du har oversikt og har ambisjoner om god karakter (5,6), er metoden med fullstendig kvadrat noe du bør beherske.

<br>
<br>

== Andregradslikninger på produktform ==

Man kan ha andregradslikninger på formen:

:<math>
\displaystyle
(x + 1)(x – 2) = 0
</math>

Du ser at dette er en andregradslikning om du multipliserer ut parentesene: 

:<math>
\displaystyle
(x + 1)(x – 2) = x^2 - 2x + x – 2 = x^2 – x – 2
</math>

Man kan multiplisere ut faktorene som vist over og bruke ABC–formelen, men det finnes en mye enklere måte å løse likningen på:

Dersom produktet av to faktorer skal bli null, må en av faktorene være null.

Likningen $mn = 0$ medfører at $m$ eller $n$ må være lik null, om likningen skal være oppfylt.


I eksemplet

:<math>
\displaystyle
(x + 1)(x – 2) = 0
</math>

betyr det at $x+1 = 0$ , eller at $x – 2 = 0$.

Det gir løsningene $x = -1$ og $x = 2$.

Problemet er redusert til løsninger av to enkle førstegradslikninger.

<br>
<br>

== Faktorisering av andregradsuttrykk ==
 
Det generelle andregradsuttrykket er $ax^2 + bx + c.$ Ofte har man behov for å faktorisere uttrykket for å kunne forkorte og forenkle.

Man har følgende formel for faktorisering av andregradsuttrykk:

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">

:<math>
\displaystyle
ax^2 + bx + c = a( x-x_1)(x-x_2)
</math>

Der $x_1$ og $x_2$ er løsninger av $ax^2 + bx + c = 0.$
</div>


<br>

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel:''' 

<br>

Faktoriser  polynomet 

:<math>
\displaystyle
6x^2-4x-2
</math>

Vi løser først likningen $6x^2-4x-2=0$ ved hjelp av ABC-formelen og får

:<math>
\displaystyle
x_1 = 1 \qquad \vee \qquad x_2 = - \frac13
</math>

Så bruker vi formelen over og får: 

:<math>
\displaystyle
6x^2-4x-2 = a(x-x_1)(x-x_2) = 6(x-1)(x + \frac 13)
</math>

Denne fremgangsmåten er spesielt nyttig (helt nødvendig) når man skal forkorte brøker som inneholder andregradspolynomer.
</div>

<br>

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel:''' 

<br>

Skriv enklest mulig:

:<math>
\displaystyle
\frac{6x^2-4x-2}{x + \frac13}
</math>

Vi faktoriserer og får:

:<math>
\displaystyle
\frac{6(x-1)(x + \frac 13)}{x + \frac13} = 6(x-1)
</math>

</div>

<br>
<br>

== Sum og produkt av røtter ==

Man har følgende sammenhenger mellom sum og produkt av røtter (løsninger):

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">

En fullstendig andregradslikning skrives på formen

:<math>
\displaystyle
ax^2 + bx + c  = 0
</math>

Dersom $x_1$ og $x_2$  er røtter (løsninger) i likningen, så er

:<math>
\begin{aligned}
x_1 + x_2 &= - \frac ba \\ \\
x_1 \cdot x_2 &= \frac ca
\end{aligned}
</math>

</div>

<br>

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel:'''

<br>

Vi ønsker å finne et andregradsuttrykk som har røttene $x = -2$ og $x = 1$. Utover det har vi ingen andre krav.

<br><br>
Vi får:

:<math>
\begin{aligned}
x_1 + x_2 &=- \frac ba \\ \\
-2 + 1 &= - \frac ba \\ \\
a &= b 
\end{aligned}
</math>

Siden vi ikke har krav til koeffisientene kan vi jo velge $a = 1$. Da får vi at $a = 1$ og 
$b = 1$. 

<br>
Produktet av røttene må oppfylle likningen

:<math>
\begin{aligned}
x_1 \cdot x_2 &= \frac ca \\ \\
-2 \cdot 1 &= \frac ca \\ \\
c &= -2
\end{aligned}
</math>

Vi får da likningen

:<math>
\displaystyle
x^2 + x - 2 = 0
</math>

Ved å bruke ABC-formelen ser man at dette er en (av mange) likninger som har løsning for $x = 1$ og for $x = -2.$

<br>
Dersom man anvender disse formlene og finner en likning, må man sjekke at den virkelig har løsninger.

</div>

----

[[1T Hovedside|Tilbake til 1T Hovedside]]<p></p>
[[Hovedside]]
[[Category:Algebra]][[Category:Ped]][[Category:1T]]