Vis kilden til 1T 2013 vår LØSNING

[http://matematikk.net/ressurser/eksamen/1T/1T_V13.pdf Oppgaven som pdf]

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=35167 Diskusjon av denne oppgaven]

=Del I=


==Oppgave 1==

$ \displaystyle
\frac{ 750 000 }{0.005}
= \frac{ 7.5 \cdot 10^5 }{ 0.5 \cdot 10^{-2} }
= 15 \cdot 10^{5 - (-2)}
= 1.5 \cdot 10^8
$

==Oppgave 2==

$ \displaystyle
\begin{align*}
(1)\quad 2x + 3y & = 7 \\
(2)\quad 5x - 2y & = 8
\end{align*}
$

Dersom vi ser på $2 \cdot (1) + 3 \cdot (2)$ ser vi at vi får likningen

$
\begin{align*}
(4x + 6y) + (15x - 6y) & = 14 + 24 \\
19x & = 19 + 19 \\
x & = 2
\end{align*}
$

Alternativt kan innsetningsmetoden brukes, men da må en hanskes med brøker.
Uansett setter vi inn $x$ verdien eksempelvis i $(1)$ finner vi at

$3y = 7 - 2x = 3$, så $y=1$ og $x=2$.

==Oppgave 3==

$ \displaystyle
\frac{ x^2 - 16 }{ x^2 - 8x + 16 } =
\frac{ (x - 4)(x + 4) }{ (x-4)^2 } =
\frac{ x + 4}{ x - 4 }
$
.

==Oppgave 4==

Likningen for en rett linje er $y = ax + b$, her er
stigningstallet gitt som

$ \displaystyle
a = \frac{ 3 - 0 }{0 - 6} = - \frac{ 1 }{ 2 }
$

slik at vi kan skrive

$ \displaystyle
y = - \frac{1}{2}x + b
$

for å bestemme $b$ bruker vi punktet (0,3)

$ \displaystyle
y= - \frac 12x +b \\ 3 = -\frac 12 \cdot 0 +b \\ b=3 \\
y= - \frac 12x + 3
$

Dette kunne vi sett direkte fra figuren siden linjen skjærer  y-aksen i 3, dvs. b = 3.

$ \displaystyle
y =- \frac{1}{2}x + 3\:.
$

==Oppgave 5==

Skriver om alle uttrykkene
$ (1/2)^0 = 1$
$ \sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^2}=3$.
$ \sqrt{20} = 2 \sqrt{5} > 2 \sqrt{4} = 4$.
$ 1/9 - 3^{-2} = 0$.
$ 0 \leq \sin 50^\circ \leq 1$.
$ \lg 150 = \lg 10 + \lg 15 = 1 + \log 15 $.

Herfra så får vi i stigende rekkefølge

$ \displaystyle
\frac{1}{9} - 3^{-2} < \sin 50^\circ
< (1/2)^0
< \lg(150)
< 27^{1/3}
< \sqrt{20}.
$

Siden $\lg 100 = 2$, og $\lg 10 = 1$, så er $1 < \log 15 < 2$ og
sinus er per definisjon alltid mellom $0$ og $1$, her ble det da benyttet radianer.


==Oppgave 6==

Enten er begge kulene blå, eller så er begge kulene røde, summen er hva vi er ute etter.

$ \displaystyle
(1) = P(\text{blå} \cap \text{blå})
= \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4}
= \frac{1}{10}
$

og

$ \displaystyle
(2) = P(\text{rød} \cap \text{rød})
= \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4}
= \frac{3}{10}
$

Summen er da

$\displaystyle
P(2 \cup 2) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \approx 40 \percent
$.


==Oppgave 7==

a) Legg merke til at

$ \begin{align*}
f(x) = & -x^2 - 4x + 5 \\
= & -(x^2 -x + 5x - 5 ) \\
= & - [x(x-1) + 5(x-1)] \\
& = (x+5)(1-x)
\end{align*}
$

Nullpunktene er dermed $x=-5$ eller $x=5$. Alternativt fungerer og andregradsformelen, med marginalt mer regning.


b) Her har vi at

$f(x) = -(x^2 - 4x + 16) + 9 = 9 - (x+2)^2 $

Slik at $f(x)$ er maksimal når $x=-2$, altså vi fullfører kvadratet og legger merke til at $- (x+2)^2\leq 0$ for alle $x$,
og den minste verdien denne delen kan ha er $0$ som skjer når $x=-2$.
Alternativt fungerer derivasjon og så fortegnslinje eller drøfting av den dobbelderiverte. ($siden f''(1)<0 så er $f(1)$ toppunkt$)

c) IKKE GJORT


d)

En tangentlinje er på formen $y = a(x - x_0) + b$, hvor vi har at
$a = f'(1) = -2(-1) - 4 = -2$ og $x_0 = -1$, så tangentlinjen blir

$
y = -2(x + 1) + 8 = -2x +6
$

som ønsket.

==Oppgave 8==

a) Fra pytagoras har vi at siden $AOC$ er rett så er

$
AC^2 = AO^2 + OC^2
= r^2 + r^2
= 2 r^2
$

Siden lengden er positiv må $AC = \sqrt{2} \cdot r$, som ønsket.

b)

Arealet av $\triangle AOC$ er gitt som

$ \displaystyle
A_1 = \frac{1}{2} r \cdot r = \frac{1}{2} r^2.
$

Arealet av sirkelbuen med grunnlinje $AB$ er gitt som

$ \displaystyle
A_S = \pi \cdot r^2 / 2
$.

Arealet av halvsirkelen med grunnlinje $AC$ er gitt som

$ \displaystyle
A_C = \pi \cdot (AC/2)^2/2 = \pi \cdot r^2 / 4 = A_S / 2
$

Området mellom det blå, og trekanten er gitt som

$ \displaystyle
A_M = A_S / 2 - A_1
$

Slik at for å finne arealet av det blå, kan vi regne ut arealet av halvsirkelen, og trekke fra det skaverte området.
Da fås

$ \displaystyle
A_B = AC - A_M
= A_S/2 - ( A_S/2 - A_1)
= A_1
$

som ønsket.


=Del II=


==Oppgave 1==

Her har vi følgelig en $30-60-90$ trekant. Da hypotenusen
dobbelt så lang som den korteste kateten. Dette kan vi skrive som

$ \displaystyle
4^2 + x^2 = (2x)^2 \Rightarrow x
= 4 \sqrt{3} \: .
$

Slik at den korteste kateten er $4/\sqrt{3} \approx 2.3094$ og hypotenusen er $8/\sqrt{3} \approx 4.6188$


==Oppgave 2==


a) Her vil eksempelvis sinus-setningen være nyttig.
Den sier at om $ABC$ er en trekant $\Delta ABC$, med interne vinkler $A, B, C$
og sider $a, b, c$ så er

$ \displaystyle
\frac{ a }{ \sin A } = \frac{ b }{ \sin B }
= \frac{ c }{ \sin C }
$

bruker vi dette så har vi dette at

$ \displaystyle
\begin{align*}
\frac{ BD }{ \sin 60^\circ } & = \frac{ 5 }{ \sin 38.2^\circ } \\
BD & = \frac{ 5 }{ 2 } \sqrt{3} \cdot \sin 38.2^\circ \\
BD & \approx 7.0022
\end{align*}
$

b) Her kan vi eksempelvis bruke at arealet
av en trekant er gitt som $A = a \cdot b \cdot \sin (A) / 2 $.

Dersom vi ser først på trekant ABD først, har en at

$ \displaystyle
\triangle ABD \approx \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot \sin( 180-60-38.2)
\approx 17.32
$

For å finne arealet av den siste trekanten, kan eksempelvis herons formel benyttes. Her har en at $S \approx (4 + 6 + 7)/2 = 17/2$ hvor $S$ er halvparten av omkretsen til trekant $BCD$. Da er arealet

$
\triangle BCD = \sqrt{ S(S-a)(S-b)(S-c) }
= \sqrt{ \frac{17}{2}\left( \frac{17}{2} - 4 \right) \left( \frac{17}{2} - 6 \right)\left( \frac{17}{2} - 7 \right) }
= \frac{3}{4}\sqrt{255}
\approx 11.977
$

Eller så kan vi bruke cosinussetningen til å først finne vinkel C.

$
\displaystyle
\begin{align*}
C & = \arccos \left( \frac{ a^2 + b^2 - c^2 }{ 2ab } \right) \\
& \approx \arccos \left( \frac{ 4^2 + 6^2 - 7^2 }{ 2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \\
& = \arccos \left( \frac{1}{16} \right) \\
& \approx 86.420
\end{align*}
$

Også bruke sinussetningen slik at arealet kan skrives som

$
\triangle BCD \approx \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \sin(86.420)
\approx 11.97
$

samme som før.

Slik at det totalet arealet kan skrives som

$
\square ABCD = \Delta ABD + \Delta BCD \approx 29.297
$

Så arealet av figuren er omtrentlig $29$.


==Oppgave 3==

a)

Antall fargeblinde kan skrives som

$ \displaystyle
\frac{8}{100} \cdot 4000 + \frac{1}{100} \cdot 6000 = 380
$

Slik at sannsynligheten for at en person er fargeblind (FB) er gitt som

$ \displaystyle
\begin{align*}
P(FB) & = \frac{ \text{ ønskelige } }{ \text{ mulige } } \\
& = \frac{ 380 }{ 4000 + 6000 } \\
& = \frac{ 19 }{ 500 } \\
& \approx 3.8 \: \percent
\end{align*}
$

Altså er sannsynligheten for at en tilfeldig person er fargeblind er $3.8 \percent$.

b) Antall kvinner som er fargeblinde er

$ \displaystyle
\frac{1}{100} \cdot 6000 = 60 \:,
$

slik at sannsynligheten for at en kvinne er fargeblind er gitt som

$ \displaystyle
\begin{align*}
P(FB \cap \text{Kvinne} ) & = \frac{ 60 }{ 380 } \\
& = \frac{ 3 }{ 19 } \\
& \approx 15.789 \: \percent
\end{align*}
$


==Oppgave 4==

a) Her bruker vi binomisk fordeling og får da

Definerer først sannsynligheten for at $X = k$, ønsker å flytte fra byen som

$ \displaystyle
P(X = k) = \binom{100}{k} \left( \frac{1}{3} \right)^k \left( \frac{2}{3} \right)^{100 - k}
$

Slik at sannsynligheten for at nøyaktig $30$ ønsker å flytte fra byen er gitt som

$
P(X = 30 ) \approx 0.067284 =6.7284 \: \percent
$

Slik at sannsynligheten for at nøyaktig $30$ personer, ønsker å flytte fra byen er ca $6.7$ prosent.


b) 

Her blir det bare å legge sammen alle sannsynlighetene mellom $30$ og $50$, geogebra eller en kraftig kalkulator klarer dette fint.

$
P(31 < X < 49) = \sum_{k=30}^{50} P(k) \approx 0.72303
$

Altså var sannsynligheten for at mellom $30$ og $50$ flyttet ut ca $72.3$ prosent.

Eventuelt går det og ann å tilnærme via normalfordelingen med $\mathcal{N}(33.333,4.7140)$, og få et godt overslag.
Uansett viktig å legge merke til at mellom $30$ og $50$, betyr fra og med $31$ til og med $49$, og ikke fra $30$ til $50$.


==Oppgave 5==

a) La $M$ st for menn og $P$ for kvinner da har vi likningene

$
\begin{array}{rcrcr}
M & + & K & = & 1000 \\
\frac{21}{100} M & + & \frac{16}{100} K & = & 1000/5
\end{array}
$

Her deler vi på $5$, siden det bare var $1$ av $5$ som trente.

b) Begyner med løse øverste likning for $K$, da fås
$K = 1000 - M$. Deretter ganges nederste likning med $100$, også settes inn opplysningen om $K$. Da fås

$
\begin{align*}
\frac{21}{100} M + \frac{16}{100} K & = 200 \\
21 M + 16 K & = 20 000 \\
21 M + 16(1000 - M) & = 20 000 \\
5 M + 16 000 & = 20 000 \\
M & = 800
\end{align*}
$

Og tilsvarene så er $K = 1000 - 800 = 200$. Altså var det totalt sett $800$ menn og $200$ kvinner som deltok på undersøkelsen.


==Oppgave 6==

a) [[File: 6a-1T-2013.png]]

b) Regner ut først ut første og andrederiverte

$ h(t) = 3.25 t^3 - 50 t^2 + 170 t + 700 $, derivasjon gir

$ h'(t) = 9.75 t^2 - 100 t + 170 $

$ h''(t) = 19.5 t - 100 $

Via andregradsformel, eller datamaskin så er $h'(t)=0$ når

$ \displaystyle
t = \frac{1}{39} \left( 200 \pm 2 \sqrt{3370} \right)\:,
$

som gir

$
t_2 \approx 8.1052$ og $t_1 \approx 2.1412\:.
$

Fra den dobbelderiverte ser en raskt at <math>h''(t_2)>0</math> og <math>h''(t_1)<0</math>
slik at $t_1$ er et toppunkt. Tilslutt så er

$
h( t_1) = \frac{ 2172100 + 13480 \sqrt{3370} }{ 3463 } \approx 866.68\:,
$

som selvsagt rundes opp til $867$ hjort. Altså var det maksimalt $867$ hjort i området.


c) Tegner figur. IKKE GJORT. Og ser fra figuren at

$h(t)>850$ når $1.4224 < t < 2.94526$

Denne ulikheten beskriver når det var flere enn $850$ hjort i området.


d)

$
h'(4) = -74
$

Det dette forteller oss er at i $199(4)$ var hjortebestanden synkende.

==Oppgave 7==

a) Her vil hypotenusen beskrive radius i sirkelen slik at
pytagoras gir oss

$
r = \sqrt{a^2 + b^2}
= \sqrt{5^2 + (2\cdot 5)^2}
= 5 \sqrt{ 1 + 2^2 }
= 5 \sqrt{5} \approx 11.180
$

b) her er $r = 10$ og sidelengden i trekanten vil være $2x/2x = x$. Den ene sidelengden kan da skrives som

$
b = \sqrt{r^2 - x^2}
= \sqrt{100 - x^2} \:.
$

Nå kan arealet av kvadratet skrives som

$A(x) = (b + b) \cdot (x + x)
= 4x \cdot \sqrt{ 100 - x^2 } $

som ønsket.

c) La $B(x) = A(x)^2$, da er

$
B'(x) = \left( 16 x^2 (100 - x^2) \right)'
= 3200 x - 64 x^3
= 64x (x^2 - 50)
$

Slik at $A'(x)=0$ når $x=0$ eller $x^2 = 50$. Førstnevnte gir $A(0)=0$
som er et minimum mens

$
B(x^2=50) = 16 (50) \cdot 50
= 4 \cdot 10^4
$

og følgelig er

$A_{\text{max}} = \sqrt{ B(x^2=50) }= 2 \cdot 10^2 = 200$.

er et maksimum. Altså for $x = 2 \sqrt{5}$ siden $x$ må være positiv.


==Oppgave 8==

Litt kjapp regning gir oss at

$ \displaystyle
\frac{c}{d} - \frac{c+7d}{d+7d} = \frac{7}{8} \left( \frac{c}{d} - 1\right)
$

Om dette skal være lik $8$, så kan vi løse likningen med tanle på $c/d $ slik at en får $c/d = (7 + 8^2) / 7 = 71/7$, som en kan teste stemmer ved innsetning.
Altså du kan sjekke om

$ \displaystyle
\frac{71}{7} - \frac{71 + 7\cdot 7}{7 + 7\cdot 7} = 8
$