Tallfølger
En tallfølge er en ordnet liste med tall hvor hvert tall er assosiert med et positivt heltall <math>n</math>. Når vi skriver ut elementene etter stigende <math>n</math> får vi en følge. Man kan betrakte en tallfølge som en funksjon fra de positive heltallene <math>\mathbb{Z}^+</math> til de reelle tallene, <math>\mathbb{R}</math>, eventuelt til de komplekse tallene <math>\mathbb{C}</math>.
En følge kan være uendelig lang eller ha et endelig antall elementer.
Eksempel
- 1,2,3,4,5
Dette er en endelig følge med 5 elementer.
- 2,4,6,8,...
Dette er en uendelig lang følge. De tre prikkene til sist kjennetegner dette.
- 1,3,5,...,9
Denne følgen er endelig, men med mindre det er spesifisert vet vi ikke hvor mange elementer følgen består av.
Eksplisitte uttrykk
Følger kan uttrykkes som funksjoner <math>a_n</math> (sammenlign med <math>f(x)</math>), der <math>n</math> er et positivt heltall.
Eksempel
- <math>a_n=n\,,\,n\in[3,7]</math>
Skriver vi ut denne følgen, får vi
- 3,4,5,6,7
- <math>a_n=n^2</math>
Ettersom definisjonsmengden til <math>n</math> ikke er spesifisert, kan vi gå ut ifra at følgen omfatter alle <math>n\in\mathbb{N}</math>. Skriver vi ut følgen får vi da
- 1,4,9,16,25,...
Rekursive uttrykk
Det er også mulig å definere følger ved å relatere de forskjellige leddene med hverandre. Da får vi ligninger på formen
<math>f(a_n,a_{n-1},...,a_1,a_0,n)=0</math>
Hvis vi sammen med et slikt uttrykk har informasjon om ett av leddene, er følgen entydig bestemt.
Dette kalles et rekursivt uttrykk og vises best gjennom noen eksempler:
Eksempel
<math>a_n=a_{n-1}+n\,,\,a_0=0</math> Ettersom ingen opplysninger og definisjonsmengden til <math>n</math> er gitt, kan vi gå ut ifra at følgen dekker alle positive heltallige <math>n</math>. Skriver vi ut følgen og starter fra <math>n=0</math>, får vi
- 0,1,3,6,10,15,...
I denne følgen er hvert ledd <math>a_n</math> summen av de <math>n</math> første heltallene. Dette ser vi også fra det rekursive uttrykket ved at hvert i hvert ledd legges det neste heltallet til summen av de forrige.
Følger trenger ikke være bestemt av én funksjon. Forskjellige funksjoner kan bestemme leddene i forskjellige deler av følgen.
$ a_n=\begin{matrix} 0 & \text{if} & n=0 \\ 1 & \text{if} & n=1 \\ a_{n-1}+a_{n-2} & \text{if} & n>1 \end{matrix} $ Hvis vi skriver ut denne følgen og starter fra <math>n=0</math>, får vi
- 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144...
Denne følgen kalles Fibonaccifølgen og har mange interessante geometriske og tallteoretiske egenskaper. Blant annet vil forholdet mellom to påfølgende tall gå mot Det gylne snitt når <math>n</math> går mot uendelig.
Konvergens
Vi sier at en følge <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> konvergerer mot et element <math>a</math> dersom <math>\lim_{n\to\infty}a_n=a</math>. En aritmetisk følge vil derfor ikke konvergere siden den vokser ubegrenset.
Eksempel
- Følgen definert ved <math> f_n=\frac{1}{n}</math> konvergerer mot <math>0</math> når <math>n\to\infty</math> siden <math>\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0</math>
- Følgen definert ved <math>g_n=\cos(\frac{1}{n})</math> vil konvergere mot <math>1</math> når <math>n\to\infty</math> siden argumentet går mot <math>0</math> og <math>\cos(0)=1</math>.
