S1 2016 høst LØSNING

Oppgaven som pdf

Diskusjon og delvis løsning av denne oppgaven

Oppgave 1

A)

$\frac{2x-1}{3}-\frac{3x+2}{4}=\frac{5}{6}\\ (\frac{2x-1}{3}*12)-(\frac{3x+2}{4}*12)=(\frac{5}{6}*12)\\ 8x-4-9x-6=10\\ x=-20$

B)

$lg(2x-6)=2\\10^{lg(2x-6)}=10^{2}\\2x-6=100\\x=53$

Oppgave 2

A)

$a(a-b)+b(b-a)\\a^{2}-ab+b^{2}-ab\\a^{2}-2ab+b^{2}\\(a-b)^{2}$

Begge løsningene av de to nederste radene gir full uttelling, henvist til sensorveiledningen.

B)

$\frac{(ab^2)^2b^-3}{a^2(b^-1)^2}\\a^{(2-2)}*b^{(4-3+2)}\\b^{3}$

C)

$lg2+lg4+lg9-lg3-lg8\\lg2+2lg2+2lg3-lg3-3lg2\\lg3$

Oppgave 3

A)

Setter opp to likninger:

$L1: x+y=200\\L1: y=200-x$

Dagen etter hadde de 110 kroner igjen tilsammen:

$L2: (x-\frac{1}{2}x)+(y-10)=110$

B)

Setter inn L1 inn i L2 ved hjelp av innsettingsmetoden:

$(x-\frac{1}{2}x)+((200-x)-10)\\(x-\frac{1}{2}x)+(200-x-10)=110\\ \frac{1}{2}x=80\\x=160$

Per hadde 160 kroner på Mandag.

Oppgave 4

$x^2+6≤5x\\x^2-5x+6≤0$

Bruker Abc formelen med x^2-5x+6=0

$x=\frac{5\pm \sqrt{25-24}}{2}\\x=2 \vee x=3$

Setter inn verdier for når x<2, 2<x<3 og x>3 inn i opprinnelige uttrykket for å finne ut hvilke x-verdier som stemmer.

$1^2+6>5*1\\ \frac{5}{2}^2+6<5*\frac{5}{2}\\4^2+6>5*4$

Løsningen blir derfor:

$x^2+6≤5x\Rightarrow2≤x≤3$

Kun løsning av annengradslikningen gir ingen uttelling, henvist til sensorveiledningen.

Oppgave 5

A)

Bruker uordnet uten tilbakelegging:

Dette gir 6!=6*5*4*3*2 mulige utfall.

Billettene kan deles ut på 720 måter.

Oppgave 6

A)

Beregn S(0), S(4) og S(8) for å finne punkter på grafen

Deretter sett inn (0,0), (4,60) og (8,104) og trekk linje igjennom disse.

B)

Bruker formel for gjennomsnittlig veksthastighet:

$\frac{S(4)-S(0)}{4-0}\\ \frac{(17*4-0,5*4^2)-(17*0-0,5*0^2)}{4}\\ 15$

Gjennomsnittlig veksthastighet til S i tidsrommet [0, 4] er 15. I løpet av de fire første timene produserer Per 15 stoler per time i gjennomsnitt på en normal dag.

C)

Deriverer funksjonen og setter den deriverte lik 4:

$S`(4)=-t+17\\-4+17\\13$

Per øker produksjonen med 13 stoler i timen fra fire til fem timer i produksjon.

Må tolke svaret til oppgaven for å få full uttelling, henvist til sensorveiledningen

D)

Regner ut hvor mange stoler han produserer på 4 timer:

$17*4-0,5*4^2\\60$

Tjener 10 kroner per stol han produserer, dette gir 60*10 kroner.

Per tjener 600 kroner på å produsere i 4 timer.

E)

Per tjener 10 kroner per stol og produserer dermed 14 stoler i gjennomsnitt per time. Bruker dermed formelen for gjennomsnittlig veksthastighet og setter denne lik 14:

$\frac{17t-0,5t^2}{t}=14\\0.5t^2=3t\\ t^2=6t\\ \frac{t^2}{t}=6\\t=6$

Kan sjekke svaret ved å sette S(6):

$17*6-0,5*6^2\\102-36\\84\\ \Downarrow\\84*10=840\\ \Downarrow\\ \frac{840}{6}=140$

Per jobbet i seks timer da gjennomsnittlig timelønnen var 140 kroner.

Oppgave 7

A)

Siden konstantleddet +14 forekommer kun i P3(x) hvor -2*-7=14 kan vi sjekke svaret ved å multiplisere ut denne:

$(x-2)(x^2-6x-7)\\x^3-6x^2-7x-2x^2+12x+14\\x^3-8x^2+5x+14$

Dette kan også vises med polynomdivisjonen

B)

Setter den faktoriserte funksjonen lik 0 for å finne nullpunktene.

Funksjonen har nullpunkt når x-2=0 og når x^2-6x-7=0

Bruker Abc formelen for x^2-6x-7

$\frac{6 \pm \sqrt{36+28}}{2}\\\frac{6 \pm 8}{2}$

Vi har nullpunktene hvor x=2, x=7 og x=-1 som gir nullpunktene:

$(2,0), (7,0) og (-1,0)$

C)

Deriverer funksjonen og setter den deriverte lik 0:

$f'(x)=3x^2-16x+5\\3x^2-16x+5=0$

Bruker Abc formelen:

$x=\frac{16 \pm \sqrt{256-60}}{6}\\x=\frac{16 \pm 14}{6}\\x=\frac{1}{3} \vee x=5$

Det er kun hvor den deriverte skifter fortegn, det er topp- og bunnpunkter. Dette finner vi ved å beregne hvor x<1/3, 1/3<x<5 og x>5 som gir:

$f'(0)=5\\f'(1)=-8\\f'(6)=17$

Tegner fortegnslinje:

Finner topp- og bunnpunktet ved å sette x- verdiene i f(x):

$f(\frac{1}{3})=\frac{400}{27}\\f(5)=-36$

$Toppunkt:(\frac{1}{3},\frac{400}{27})$

$Bunnpunkt: (5,-36)$

Oppgave 1

A)

Setter x=elever og y=lærere

Det var totalt 23 elever(x) og 4 lærere(y) som betalte 1760 kroner på regning 1 og 13 elever(x) og 7 lærere(y) som betalte 1445 kroner

B)

Setter inn likningene i CAS

Elevene betalte 60 kroner og lærerne 95 kroner

Oppgave 2

A)

Dette er en hypergeometrisk fordeling siden det trekkes 7 kuler av utvalg på 34, 9 av disse er spesielle. Det er totalt 9 tall som er mindre enn 10. 25 tall er over 9(10-34). Det trekkes 7 av 34 tall.

B)

Bruker hypergeometrisk fordeling i geogebra:

Det er 93,87% sannsynlighet for at 3 eller færre av vinnertallene er mindre enn 10

C)

Bruker hypergeometrisk fordeling i geogebra hvor 1 av 34 tall er defekt:

Det er 79,4% sannsynlighet for at tallet 11 ikke er blant vinnertallene i en spilleomgang.

D)

Bruker binomisk fordeling med n=10 og p=0,794 i geogebra:

Sannsynligheten for at tallet 11 ikke blir trukket ut en eneste gang i de 10 første spilleomgangene er 9,97%

Oppgave 3

A)

Sett verdiene inn i excel i geogebra og bruk funksjonen "lag liste med punkter" og "RegEksp[Liste1].

Vis både utklipp fra excel og grafikkfeltet med navn på akser og punkter.

En eksponentiell modell som passer med verdiene er $f(x)=1916,71*2,1^x$

B)

Bruker Cas og skriver inn f(x)=200000 og bruker Nløs:

Antall registrerte elbiler passerer 200000 etter 1. Kvartal i 2016

C)

Definer g(x) i Cas, skriv navn på akser og funksjonene, deretter vis graffikkfeltet med både g(x) og f(x)

D)

Setter f(x)=g(x) i Cas og trykker Nløs:

Det er flere registrerte elbiler enn privatbiler fra andre halvdel av 2019

Oppgave 4

A)

Definerer x=biler og y=busser

Det er ikke mulig å parkere færre enn 0 busser eller biler

Totale kjøretøy, dvs biler+busser kan ikke overstige 60

Biler tar $12m^2$ og busser tar $50m^2$. Totalt blir dette maksimalt $1000m^2$. Dette gir:

$12x+50y=1000\\6x+25y=1000$

B)

Setter inn ulikhetene i geogebra og skraverer det røde området som er begrenset, se C)

C)

Lager glider i geogebra som I og skriver inn funksjonen I=30x+100y:

Finner punktet C og setter glideren slik at optimal inntekt blir 2316 kroner ifølge denne. Dette gir 52,63 biler og 7,37 busser som ikke er mulig.

Bruker Cas og tester størst mulig inntekt ved å ligge innenfor ulikhetene og under 2316 kroner i inntekt:

Størst inntekt oppnås ved å parkere 50 biler og 8 busser. Dette gir en inntekt på 2300 kroner.