R1 2015 høst LØSNING

DEL EN

Oppgave 1

a)

$f(x)= 3x^2+5x-2 \\ f´(x)=6x+5$

b)

$g(x)=3(x^2-2)^4 \\g´(x)= 3 \cdot 4 \cdot 2x(x^2-2)^3 = 24x(x^2-2)^3$

c)

$h(x)= x ln(x^2+3)$

Setter $ u= x^2+3$ som gir $u'= 2x$, og får:

$h'(x)= ln(x^2+3)+ \frac{x \cdot 2x}{x^2+3} \\ h'(x)= ln(x^2+3) + \frac{2x^2}{x^2+3}$

Oppgave 2

$f(x)= xe^{-x} \\ f´x) = e^{-x} +x (-1) e^{-x} = e^{-x}(1-x)$

$e^{-x}$ er positiv for alle x. (1-x) er null for x=1, negativ for x > 1 og positiv for x < 1. x = 1 gir et maksimum for funksjonen.

Oppgave 3

a)

$f(x)=x^3-2x^2-kx+6, \quad D_F = \R$

k slik at $f(x):( x-1)$ går opp:

$1-2-k +6 =0 \\k = 5$

b)

$x^3-2x^2-5x+6 :(x-1)= x^2-x-6 \\-(x^3-x^2) \\ \quad \quad -x^2-5x \\ \quad \quad -(-x^2+x) \\ \quad \quad \quad \quad -6x+6 \\ \quad \quad\quad \quad -(-6x+6)$

Vi løser andregradspolynomet (abc - formel el.) og får totalt disse tre lineære faktorer: (x - 1)(x + 2)(x - 3).

c)

Tegner fortegnsskjema for hver av de tre lineære faktorene i b, og får fortegnslinjen for f(x):

$f(x) \geq 0 \\ x \in [-2,1] \cup [3, \rightarrow > $

Oppgave 4

$lg(a^2b^3)+ lg(\frac{1}{b^2}) - lg ( \frac{b}{a}) = \\ 2 lga + 3 lgb -2lgb - lgb + lga = \\ 3 lg a$

Oppgave 5

a)

$f(x)=-x^4+4x^3 = x^3(-x+4) \quad x \in <-2, 4>$

Siden funksjonen ikke er definert for x = 4 har den bare ett nullpunkt, i Origo (0, 0).

b)

$f´(x) = -4x^3+12x^2 = -4x^2(x-3)$

Grafen har et terrassepunkt for x = 0, dvs. i (0, 0) og et maksimum i (3, f(3)) som gir (3, 27).

c)

Vendepunkt:

$f´´(x)= -12x^2 + 24x \\ f´´(x)=0 \\ -12x(x-2) =0 \\ x=0 \vee x = 2$

x= 0 er sammenfallende med nullpunkt og terrassepunkt, vendepunktene er (0, 0) og (2, 16) ( f(2) = 16).

d)

Oppgave 6

Vinkel u spenner over samme bue som vinkel D. Begge ligger på sirkelperiferien og er derfor like. Vinkel u er 50 grader.

Vinkel C er 90 grader fordi den ligger på pereferien og spenner over diameteren. Da blir vikel v 40 grader.

Oppgave 7

a)

Siden det er 60% jenter og 70% av disse har blå øyner, betyr det at 42% av elevmassen er jenter med blå øyner. Tilsvarende tall for gutter er 22%.

	Blå	ikke blå	Total
Jente	42%	18%	60%
Gutt	22%	18%	40%
Total	64%	36%	100%

Fra tabellen ser man at sannsynligheten for å trekke en elev med blå øyner er 64%.

b)

Det er 36% som ikke har blå øyner. 18% av disse er gutter. Sannsynligheten er 0,5 for gutt.

Oppgave 8

a)

b)

Halveringslinjene er blå i figuren over. En vinkelhalveringslinje er et geometrisk sted, like langt fra de to sidene som danner vinkelen. Dersom man befinne seg på den blå linjen som halverer vinkel A betyr det at man er like langt fra linjestykkene AB og AC. Den samme tanken følger vi fra den blå linjen som halverer vinkel B. Punktet S der linjene møtes blir da et punkt som ligger like langt fra alle linjene. Denne avstanden er SD = SE = SF. En sirkel mens sentrum i S og radius SD vil følgelig bli en innskrevet sirkel.

c)

Se over.

d)

Se over.

Oppgave 9

$lg(x+2)^2 = lg x^4 \\ 2 lg (x+2) = lg(x^2)^2 \\ 2 lg (x+2) = 2 lg(x^2) \\ lg(x +2) = lg (x^2) \\ x+2= x^2 \\ -x^2+x+2 =0$

Bruke abc formelen (el.) og får at x = - 1 eller x = 2. Vi kan ikke ta logaritmen til et negativt tall, så vi må sjekke ut svarene. I denne oppgaven er begge svar gyldige.

DEL TO

Oppgave 1

a)

C = 3 og k = 0,01625

(brukte regresjon)

b)

I følge modellen vil dette skje i år 74 etter 1960, dvs. i år 2034, se figur i a.

c)

$f(x) = 3 e^{0,01625x} = 3 (e^{0,01625})^x = 3 \cdot 1,01638^x$ Det betyr at økningen per år er på ca 1,64%

Oppgave 2

a)

b)

Bruker Geogebra og finner at arealet er 35.

c)

Punktet der normalen fra C på AB skjærer x- aksen har koordinatene (x,0).

$\vec{AB} = [8,-1]$

$[8, -1] \cdot [5-x,8] =0 \\40-8x - 8 =0 \\8x= 32 \\ x= 4 $

Oppgave 3

a)

Arealet til rektangelet er lengde gange bredde:

$G(x) = x \cdot f(x) = x (4-0,125x^3)= 4x - 0,125x^4$

b)

De x verdiene som gir rektangelet et areal på 5,0 er x= 1,36 og x= 2,53.

c)

Fra figuren i b ser man at det største arealet får man når x = 2. Arealet av rektangelet er da 6.

Oppgave 4

a)

b)

Fra figuren i a ser man at det tredje skjæringspunktet er (5,8).

Summen av x-koordinatene er 4.

c)

1. Vi definerer g(x) i CAS.

2. Stignigstallet til en rett linje a, er $ \frac{\Delta y}{\Delta x}$ som gir $ a = \frac{g(t)-g(s)}{t-s}$. Stigningstallet blir da det du ser i linje to på CAS klippet.

3. Likningen for en rett linje er y= ax + b. b leddet finner man på linje 3.

d)

Fra linje 4 i c:

x = s, x = t og x = -a -s - t

SUM: x + x + x = s + t + (-a - s - t ) = -a