R1 2008 høst LØSNING

a)

1)<math>f(x)=3e^{2x}, \quad f'(x) = 3 \cdot 2 e^{2x} = 6e^{2x}</math>

2)<math>h(x)=x \cdot lnx, \quad h'(x) = lnx + x \cdot \frac 1x = lnx + 1 </math>

b)

l går gjennom A(1,2) og B(3,7), <math> \vec{AB}=[2,5]</math>

1)Parameterfremmstilling:<math> l: \left [ x = 1+2t \\ y = 2 + 5t \right]</math>

2) Skjæring med x-akse, y = 0:<math>t = - \frac 25 \Rightarrow x = \frac 15, \quad \quad ( \frac 15,0)</math>

Skjæring med y-akse, x = 0:<math>t = - \frac 12 \Rightarrow y = -\frac 12, \quad \quad (0,- \frac 12)</math>

c)

1)<math>f(-1) = (-1)^3 - 3 \cdot (-1)^2 - (-1)+3 = -1-3+1+3 = 0 \quad</math> dvs.f(x) er delelig med (x-(-1))

<math>\quad \quad x^3-3x^2-x+3: (x+1) = x^2-4x+3 \\ -(x^3 +x^2) \\ \quad \quad\quad\quad \quad -4x^2-x \\ \quad \quad -(-4x^2-4x) \\ \quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad -(3x+3)\\ \quad \quad\quad \quad \quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad\quad \quad \quad 0 </math>

<math>x^2-4x+3 = 0 \\ x= \frac {4 \pm \sqrt{16-12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \\ x = 1 \vee x=3 \\ f(x)= x^3-3x^2-x+3 = (x+1)(x-1)(x-3)</math>

2)

<math>f(x) \geq 0 \\ x \in [-1,1] \cup [3,\rightarrow></math>

d)

1) Lengden av sidene i trekanten: <math>\vec{AB}= [2,1], \vec{BC} =[-1,4], \vec{AC} = [1,5] \\ AB = \sqrt{5},\quad BC = \sqrt{17},\quad AC=\sqrt{26}</math>

2)

Dersom trekanten er rettvinklet må AC være hypotenusen.

<math>(AC)^2 = 26 \\ (AB)^2 + (AC)^2 = 5+17 = 22 </math>

Trekanten er ikke rettvinklet.

e)

1)grafen til f(x) er heltrukket og grafen til f'(x) er stipplet. f(x) vokser til x = 1 hvor den har et maksimum. Fra x = 1 til x = 3 er f(x) avtagende, med et minimum i x = 3. Den deriverte er null i x = 1 og x = 3 og negativ mellom disse verdiene, som er i samsvar med at grafen til f har et negativt stigningstall i dette området. Der f vokser er f' positiv.

2)

a)

<math> \vec{OB}= [3,0], \vec{OC}= [4,3], \vec{OD}= [-1,5] \\ \vec{OM_1}= \frac 12 \vec{OB}= [ \frac 32,0] \\ \vec{OM_2}= \frac12 \vec{OB}+ \fra 12\vec{OC}= [\frac 32,0]+[2, \frac 32] =[\frac 72,\frac 32] \\ \vec{OM_3}=\frac 12\vec{OC}+\frac 12 \vec{OD}= [2, \frac32]+[- \frac 12, \frac 52]=[\frac 32,4] \\ \vec{OM_4}= \frac 12\vec{OD}=[-\frac 12, \frac 52]</math>

b)

Dersom firkanten <math>M_1M_2M_3M_4</math> er et parallellogram, må <math> \vec{M_1M_2} =\vec{M_4M_3} </math>:

<math> \vec{M_1M_2} = [\frac 72, \frac 32]-[\frac 32,0]=[2, \frac32]\\ \vec{M_4M_3}= [\frac 32,4]-[- \frac 12, \frac 52]=[2, \frac32] </math>

Man observerer at så er tilfelle og at firkanten derfor er et parallellogram.

c)

Dersom firkanten <math>N_1N_2N_3N_4</math> er et parallellogram, må <math> \vec{N_1N_2} =\vec{N_4N_3} </math>:

<math> \vec{N_1N_2} = [\frac{a+b}{2} \quad ,\quad \frac {c}{2}]-[\frac a2\quad,\quad0]=[\frac b2\quad, \quad\frac c2]\\ \vec{N_4N_3}= [\frac{b+d}{2}\quad,\quad\frac{c+e}{2}]-[ \frac d2\quad,\quad \frac e2]=[\frac b2\quad, \quad\frac c2] </math>

DEL TO

a)

<math> \frac{16}{30} \cdot \frac{15}{29} = \frac {8}{29}</math>

b)

P( trekker ti kort og får syv svarte og tre røde)<math>= \frac{ \left ({16}\\{7} \right)\cdot\left ({14}\\{3} \right) }{\left ({30}\\{10} \right)} = 0,139 </math>

c)

P(Cu) = P(før)P(Cu|før) + P(etter)P(Cu|etter) = <math>0,4 \cdot 0,45 + 0,6 \cdot 0,35 = 0,39</math>

d)

<math>P(foer|Cu) = \frac{P(foer \cap Cu)}{P(Cu)} = \frac{0,4 \cdot 0,45}{0,39} = 0,46</math>

a)

<math>y_1=-5x+6 \wedge y_2=4x</math>

Setter x=u i <math>y_2</math> og får 4u, dvs. D(u,4u)

Andrekoordinaten til C må være lik andrekoordinaten til D soden DC er parallell med x aksen.

b)

C(x,4u), setter inn i y2:

<math>y_2 = -5x+6 \\ x= \frac{4u-6}{-5} = \frac {6-4u}{5}</math>

c)

Areal av rektangel: A = bh

<math>F(u) = b\cdot h = ( \frac{6-4u}{5} - u)(4u) \\ F(u)= \frac{24u}{5} - \frac{36u^2}{5} \\F(u) = - \frac{36}{5} u^2 + \frac{24}{5}u</math>

d)

<math>F'(u) = - \frac{72}{5} u + \frac{24}{5} \\ F'(u) = 0 \\ - \frac{72}{5} u + \frac{24}{5} = 0\\ u = \frac 13 \\ F(\frac{1}{3}) = - \frac{36}{5} \cdot \frac 19 + \frac {24}{5} \cdot \frac 13 = -\frac 45 + \frac 85 = \frac 45</math>

a)

<math>y_2 = -x+6 \wedge y_1=x-1 \\ A(2,0) \\y_1 (2)=2-1=1 \Rightarrow D(2,1) \\y_2 = -x+6 \\ 1=-x+6 \\ x=5 \Rightarrow C(5,1) </math>

b)

<math>A = b \cdot h = (5-2)\cdot 1 = 3</math>

c)

A(x,0)

Høyde rekangel: (x+1)

Bredde rektangel: <math>(y_2-y_1) = -2x+7</math>

Areal:<math>F(x) = b\cdot h = (-2x+7)(x-1) = -2x^2+9x-7</math>

Det som mangler i tabellen blir da:

F(1,5)= 2

F(2,5)= 3

F(3) = 2

d)

<math>F(x) = (-2x+7)(x-1) = -2x^2+9x-7 \\ F'(x)= -4x+9 \\ F'(x)=0 \Rightarrow x = \frac 94</math>

Største areal: <math>F(\frac 94) = \frac{25}{8}</math>

<math> A= ( \frac 94,0) \\ D=( \frac 94, \frac 54) \\ C = (\frac{19}{4}, \frac 54) \\ B=( \frac {19}{4}, 0) </math>

a)

Vinkelhalveringslinjene møtes i S. Trekanten ADS har samme mål som trekanten AES. Derfor er AD = AE. Samme resonement gjelder for de andre vinklene i trekantene, derfor er BF = BE og CD = CF.

b)

AD = AE = x

BF = BE = y

a = BC = y + r

b = AC = x + r

c = AB = x + y

c)

a + b - c = (y + r) + (x + r) - ( x + y) = 2r

I en rettvinklet trekant er summen av katetene minus hypotenusen lik diameteren til den innskrevne sirkelen.

d)

Det er tilfelle fordi avstanden er denn samme til begge (alle) vinkelbein. Avstanden er r.

e)