Periodiske funksjoner

En periodisk funksjon <math>f(x)</math> på et intervall <math>I</math> med periode <math>d</math> er kjennetegnet ved at <math>f(x+d)=f(x) \, \forall x \in I</math> (gitt at <math>x+d\in I</math>). Da vil også <math>f(x+nd)=f(x) \, \forall n \in \mathbb{Z}</math>.

Eksempel

<math>f(x)=\sin(x)</math> på <math>\mathbb{R}</math> med periode <math>d=2\pi</math>. Det er evident at <math>\sin(x)=\sin(x+2\pi)\,\forall x \in \mathbb{R}</math>. Vi sier gjerne at <math>\sin(x)</math> er <math>2\pi</math> -periodisk eller at bølgelengden er <math>2\pi</math>.

Enhver sum av funksjoner med lik periode er selv periodisk med samme periode.

Bevis

La <math>f(x)</math> og <math>g(x)</math> være to funksjoner med periode <math>d</math> definert på den reelle tallinja. Da er <math>f(x+d)=f(x)</math> og <math>g(x+d)=g(x)</math> for alle reelle <math>x</math>. Hvis vi legger sammen funksjonene og definerer <math>h(x)=f(x)+g(x)</math>, ser vi at <math>h(x+d)=f(x+d)+g(x+d)=f(x)+g(x)=h(x)</math>, så <math>h(x)</math> har egenskapen til en periodisk funksjon.

Perioden til en gitt funksjon <math>f(x)</math> er den minste verdien av <math>d</math> slik at <math>f(x+d)=f(x)\,\forall x</math>.

Eksempel

Ser vi på produktet <math>f(x)=\sin(x)\cos(x)</math> vil <math>f(x+2\pi)=f(x)</math>, men funksjonen vil også oppfylle <math>f(x+\pi)=f(x)</math>, så perioden til funksjonen vil være <math>d=\pi</math>. Dette er altså en liten fallgrube siden det kanskje kan være fristende å konkludere med at perioden til produktet av to <math>2\pi</math> -periodiske funksjoner har periode <math>2\pi</math>.

Periodisk utvidelse

Vi kan konstruere periodiske funksjoner på f.eks. <math>\mathbb{R}</math> ved å utvide en funksjon definert på et begrenset intervall.

Eksempel

Ser vi på restriksjonen av <math>f(x)=x</math> på intervallet <math>\langle 0,1]</math> kan vi utvide denne til en periodisk funksjon på hele <math>\mathbb{R}</math> gjennom å kreve at <math>f(x+1)=f(x) \, \forall x\in\mathbb{R}</math>. Det vi har gjort er å utvide domenet til funksjonen fra det halvåpne intervallet <math>\langle 0,1]</math> til hele den reelle tallinja på en slik måte at <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> blir periodisk.