Løsning utrinn eksempeloppgave fagfornyelsen V21

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Oppgave 1

Det er en blå kule, siden det er det maksimale vi kan få. Når vi trekker 7 kuler er minst to røde. Dersom vi også kan ha trukket en blå betyr det at det er 4 gule. Det vil da være 5 røde, noe som stemmer med den første opplysningen.

Oppgave 2

I denne typen oppgaver må man finne sammenhengen mellom antallet elementer (fyrstikker) og figurens plassnummer. Her er en mulig måte:

Figur nr. 1 består av fire trekanter, altså $4 \cdot 3 = 12$ fyrstikker.

Figur nr.2 består av seks trekanter pluss en fyrstikk, altså $6 \cdot 3 + 1 = 19$ fyrstikker.

Figur nr. 3 består av åtte trekanter pluss to fyrstikker, altså $8 \cdot 3 + 2 = 26$ fyrstikker

Vi ser at antall trekanter starter med 4 og øker med 2 for hver gang. Det kan vi skrive som (2n + 2). Når vi ganger det med 3 får vi antall fyrstikker i trekantene. Så har vi en rest av fyrstikker som er en mindre enn plassnummeret, altså (n-1). Dette kan da skrives som

$F(n) = (2n+2) \cdot 3 + (n-1)= 6n + 6 +n -1 = 7n + 5$

Oppgave 3

$f(x)= \frac{4900}{x}$. Funksjonen viser pris per tur, som funksjon av antall turer (x). f(x) og x er omvendt proporsjonale størrelser. Når den ene størrelsen øker, avtar den andre og om vi multipliserer dem blir svaret alltid 4900, som er prisen på sesongkort. y aksen gir pris per tur og x aksen antall turer.

g(x) = 390x er en lineær funksjon som viser kostnaden ved å kjøpe flere dagskort. x er antall dagskort og 390 er prisen på ett dagskort. g er prisen på x dagskort.

Oppgave 4

Figur 2 stemmer med algoritmen.

Oppgave 5

Trekanten GAB har et arealet på $44cm^2$ fordi katetene har lengder på henholdsvis (3+8) cm og 8 cm. Siden GS er halvparten av GB og høyden i trekantene den samme, må arealet av trekanten GAS være $22 cm^2$

Oppgave 6

Metoden er ugyldig fordi man ikke kan forkorte bort ledd i en brøk. Brøken kan forenkles men man må faktorisere først.

$\frac{6x^2+2}{2} = \frac{2(3x^2+1)}{2} = 3x^2+1$

Oppgave 7

Programmet bruker pytagoras setning til å avgjøre om en tilfeldig trekant er rettvinklet. Dersom en trekant er rettvinklet kalles den lengste siden hypotenus og de to andre for katet. Programmet ber om at man taster inn den lengste siden først. Rekkefølgen på de to neste har ingen betydning. Dersom man taster inn 5, 3 og 4 kan output a være:"Dette er en rettvinklet trekant. Det er fordi $5^2 = 3^2 + 4^2$. Dersom man taster inn 5, 3 og 3 kan output b være: "Dette er ikke en rettvinklet trekant".

Oppgave 8

Her skal vi trolig vurdere kostnadene ved å ta førerkort for moped, samt kostnader ved anskaffelse av moped, og drift i to år. Dette er en åpen oppgave og det kan da være fornuftig å ta utgangspunkt i "snakkeboblene" for å få med det viktigste. Det er om å gjøre å vise kompetanse i vurderingssituasjoner. I denne oppgaven kan vi vise at vi kan Regneark, graftegning og programmering.

Drift av moped

Kostnader drift av moped: Avstand til skole og til fotballbane er 2 km. Vi forutsetter at hun bruker mopeden hele året på skolen. Det blir ca. 80 km per måned. Hun er neppe på fotballbanen fem dager i uken, men kjører sikkert litt andre steder også, så totalt antar vi at hun kjører 200 km. per måned. Dersom vi hadde mer informasjon om Anne kunne vi laget et bedre estimat. I oppgaven står det at bensinen koster ca. 15kr per liter. Nå, to måneder senere koster den ca. 19 kr per liter. Det er ingen grunn til å tro at bensin bli billigere med tiden, så i modellen bruker vi et gjennomsnitt på 20 kr. per liter.

Hun kjører 20 mil per måned, det gir et bensinforbruk på i underkant av 7 liter per måned, til 20 kroner literen. Et godt estimat for bensinkostnader blir da 140 kr. per måned, eller 1680 kr per år.

Forsikringskostnader er 125 kr / måned eller 1500 kr per år.

Summen av bensinutgifter og forsikringskostnader blir 3180 kr per år. Alle som har hatt moped vet at det påløper alltid ekstra kostnader i form av olje, vask, bytte av slitte deler mm. Vi regner at det koster Anne 3500 kr. per år i driftsutgifter.

Modellen skal prøve å si noe om framtidige kostnader. Det er verdt å merke seg at forsikringsutgiftene er tilknyttet liten usikkerhet, mens bensinutgiftene er usikre, fordi de er avhengig av bensinprisen som Anne ikke kan styre, og av kjørelengde.

Sertifikat

Det er usikkerhet rundt antallet kjøretimer Anne trenger. Pakken koster 8800 og inneholder 3 kjøretimer. Dersom man trekker fra kostnadene til alt det obligatoriske ser det ut til at prisen på en kjøretime ligger på ca. 773 kroner. I pakken kan det jo være litt rabatt så man kan estimere at kjøretimer i tillegg til pakken (de tre) koster 800 kr per time. Dersom vi anslår at Anne trenger tre timer i tillegg til de tre i pakken, blir det en merkostnad på 2400 kroner. Da blir prisen på sertifikat 11 200 kr. I tillegg kommer gebyrene til staten, totalt kr 1035,-

Til sammen blir det 12235,- men da har har vi tatt høyde for tre ekstra kjøretimer

Verditap moped

Dersom mopeden kjøres lite og holdes godt, vil verditapet bli mindre enn om den har en høy kilometerstand og ikke er så godt vedlikeholdt. Men, de aller fleste kjøretøyer taper seg i verdi uansett.

Figuren viser utviklingen av et mulig verditap for mopeden.

Anne skal ta sertifikat, kjøpe moped og drifte den i to år. Summen av alt over blir: Drift 7000 kr + verditap moped 7000 kr + sertifikat 12235 = 26245. Det knytter seg usikkerhet til alle beregninger så Anne bør belage seg på en kostnad på 25 - 30 tusen.