Irrasjonale likninger
Innledning
Dersom den ukjente i ligningen befinner seg under ett eller flere rottegn sies ligningen å være irrasjonal. Man må være fortrolig med bruk av kvadratsetningene og løsing av 2.gradsligninger før man ser på eksemplene nedenfor.
Falsk løsning
Generelt løses irrasjonale ligninger ved å kvadrere på begge sider av likhetstegnet. Det kan generere falske løsninger derfor må man
ALLTID SETTE PRØVE PÅ SVARET.
<math> x = -2 \\ (x)^2 = (-2)^2 \\ x^2 = 4 </math>
Om man løser <math>x^2 = 4</math> ser man hvorfor man må sette prøve på svaret. vi startet med x =-2. På grunn av kvadreringen genereres den falske løsningen x= 2
Eks. 1:
Før man kvadrerer skal rottegnet (og det under) stå alene på den ene siden av likhetstegnet
<math>\sqrt{x-2} = 4 \\ (\sqrt{x-2})^2 = 4^2\\ x - 2 = 16\\ x = 18</math>
Ved å SETTE PRØVE ser man at x=18 passer inn i ligningen.
Eks. 2:
En noe mer arbeidskrevende ligning er denne:
<math>\sqrt{x-2} = 3 - \sqrt{x+3} \\ \sqrt{x-2} + \sqrt{x+3} = 3 \\ (\sqrt{x-2} + \sqrt{x+3})^2 = 3^2 \\ x-2 + 2\sqrt{x-2} \sqrt{x+3} + x + 3 = 9 \\ 2x+1 +2 \sqrt{x-2} \sqrt{x+3} = 9 \\ 2\sqrt{x-2} \sqrt{x+3} = 8-2x \\ \sqrt{x-2} \sqrt{x+3} = 4-x \\ (\sqrt{x-2} \sqrt{x+3})^2 = (4-x)^2 \\ 9x=22 \\ x= \frac{22}{9}
</math>
Ved å sette prøve ser man at venstre side er <math> \sqrt{\frac{22}{9}-2} =\sqrt{\frac{22}{9}- \frac {18}{9}} = \frac23 </math>
Høyre siden blir <math> 3 -\sqrt{\frac{22}{9}+3} =\sqrt{\frac{22}{9} +\frac {27}{9}} =3- \frac73= \frac23 </math>
Eks. 3:
<math>x - \sqrt{3x+7} + 1 = 0 \\ (- \sqrt{3x+7})^2 = (- x - 1)^2 \\ 3x + 7 = x^2 + 2x + 1 \\ x^2 - x - 6 = 0 \\ x -2 \vee x = 3 </math>
Man observer, ved å SETTE PRØVE PÅ SVARET, at x= -2 IKKE er en løsning av ligningen. Løsningen blir da x = 3.
Eks. 4:
<math>\sqrt{2x + 10 + \sqrt{x+3}} = 5 \\ 2x + 10 + \sqrt{x+3} = 25 \\ \sqrt{x + 3} = 15 - 2x \\ x + 3 = 225 - 60x + 4x^2 \\ 4x^2 - 61x + 222 = 0 \\ x = 6 \vee x = 9,25 </math>
Innsatt i ligningen observerer man at kun x=6 er en løsning.
