2PY 2024 høst LØSNING

DEL 1

Oppgave 1

30 % tilsvarer 12 kroner. Det vil si at 10 % tilsvarer 4 kroner. 100 % tilsvarer da 40 kroner.

Varen kostet opprinnelig 40 kroner.

Oppgave 2

Her er antall timer Lars har arbeidet på butikken de siste 10 dagene:

3 3 4 5 6 8 0 3 5 5

a)

Gjennomsnitt:

$\frac{3+3+4+5+6+8+9+3+5+5}{10} = \frac{42}{10} = 4,2$

Lars har arbeidet i gjennomsnitt 4,2 timer per dag på butikken.

Sorterer tallene i stigende rekkefølge for å finne medianen:

0 3 3 3 4 5 5 5 6 8

Median:

$\frac{4+5}{2}= 4,5$

Medianen er 4,5 timer arbeid per dag.

b)

Jeg ser i tallrekka som er sortert i stigende rekkefølge at Lars arbeidet 5 timer eller mindre i 8 dager. Vi sier at den kumulative frekvensen for 5 timer er 8.

Oppgave 3

Grafen til f viser sammenhengen mellom to proporsjonale størrelser, fordi grafen til f går gjennom origo, og øker lineært (med et konstant stigningstall). Vi har $f(x)=25\cdot x$.

Grafen til p viser sammenhengen mellom to omvendt proporsjonale størrelser, fordi vi har sammenhengen $p(x)=\frac{1000}{x}$

Oppgave 4

a)

Figur nr. 4 vil ha 24 små sirkler.

Figur nr. 10 vil ha 48 små sirkler.

b)

Hver figur består av et kvadrat med et antall små sirkler som er 4 ganger figurnummeret. Hver figur har 8 små sirkler i tillegg. Vi har:

$F_n=4n+8$

Oppgave 5

a)

Uttrykket i linje 2 er en eksponentialfunksjon som uttrykket antall tonn CO2 bedriften slipper ut x år etter 2025.

200 er antall tonn CO2-utlipp i 2025.

0,975 er vekstfaktoren for en årlig nedgang i CO2-utslipp på 2,5 %.

b)

x er antall år, og s er summen av CO2-utslippene. Programmet regner ut summen av CO2-utslippene 4 år etter 2025 (altså i 2029).

DEL 2

Oppgave 1

$F(x)=620\cdot 1,045^x$

F viser hvor mange flasker iste en bedrift regner med å selge hver måned fra og med desember 2024.

a)

1)

Hvor mange flasker iste bedriften regner med å selge i desember 2025:

Metode 1, ved utregning: $F(12)=620 \cdot 1,045^{12}\approx 1051$

Metode 2, grafisk i Geogebra Suite:

Tegner grafen til F og linja x=12. Bruker deretter "skjæring mellom to objekt". Se punkt A.

Bedriften regner med å selge ca. 1051 flasker i desember 2025.

2)

Når bedriften vil selge mer enn 2000 flasker i løpet av en måned:

Metode 1, ved utregning i CAS:

Metode 2, grafisk i Geogebra Suite (se skjermbilde i deloppgave 1):

Tegner grafen til F og linja y=2000. Bruker deretter "skjæring mellom to objekt". Se punkt B.

Bedriften regner med å selge 2000 flasker 26 måneder etter desember 2024, dvs i februar 2027.

b)

Jeg løser oppgaven på to måter.

1) Ved å bruke vekstfaktor:

$1,045^{24}=2,876$

En vekstfaktor på 2,876 betyr en økning i salget på 187,6 %.

2) Ved å bruke prosentregning:

Finner at $F(24)=1783$

Beregner prosent endring:

$\frac{1783-620}{620}\cdot100 \% = 187,6 \%$

Oppgave 2

a)

Bruker CAS i Geogebra til å utføre beregningene.

$25\cdot10^9\cdot150=3,75\cdot10^{12}$

$54\cdot10^9\cdot150=8,1\cdot10^{12}$

Det er mellom $3,75\cdot10^{12}$ og $8,1\cdot10^{12}$ bakterier i kjøkkensvampen.

b)

Bruker CAS i Geogebra til å utføre beregningene.

$0,2\cdot10^{-6}\cdot3,75\cdot10^{12}=7,5\cdot10^5$

$2\cdot10^{-6}\cdot8,1\cdot10^{12}=1,62\cdot10^7$

Rekken vil bli mellom $7,5\cdot10^5$ og $1,62\cdot10^7$ meter lang. Hvem som lurer på det, er en annen historie...

Oppgave 3

For å finne 10 % av 50:

$x=\frac{10}{100}\cdot 50$

$x=\frac{10\cdot 50}{100}$

$x=5$

For å finne 50 % av 10:

$x=\frac{50}{100}\cdot 10$

$x=\frac{10\cdot 50}{100}$

$x=5$

Vi får alltid samme svar i slike tilfeller. Å finne p % av q eller q % av p er det samme.

$x=\frac{p}{100}\cdot q = \frac{q}{100}\cdot p = \frac{p\cdot q}{100}$

Oppgave 4

a)

Modell for avtale A:

$A(x)=50x$

Modell for avtale B:

$B(x)=30x+1995$

Modell for avtale C:

$C(x)=24x+3490$

b)

Løser oppgaven grafisk i Geogebra. Grafen for avtale B er den blå linjen. Denne avtalen er billigst mellom punkt D og E, det vil si fra og med 100 til og med 249 dager med parkering per år.

Oppgave 5

a)

Jeg bruker Tabell i Geogebra Suite, legger inn tallene, og velger statistikk.

Gjennomsnittsalderen er 40 år, medianalderen er 34,5 år, og standardavviket er 25,4 år for lag A.

Jeg kunne også brukt Excel til denne oppgaven, se skjermbilde i oppgave c).

b)

På lag B er både gjennomsnittsalderen og medianalderen høyere enn på lag A. Standardavviket er derimot lavere. Det vil si at deltakerne på laget jevnt over er eldre, og at det ikke er like stor aldersforskjell på dem.

På lag C er medianalderen lavere enn på lag A, men gjennomsnittsalderen og standardavviket er høyere. Det vil si at minst halvparten av deltakerne på lag C er yngre enn medianalderen på lag A. Men siden gjennomsnittsalderen er høyere enn på lag A, er det noen eldre deltakere som trekker gjennomsnittsalderen opp. Et større standardavvik betyr at aldersforskjellen er større blant deltakerne på lag C.

c)

Jeg bruker Excel til å sette opp et eksempel på aldersfordeling på lag B og C, og beregne median, gjennomsnitt og standardavvik for hvert av lagene, slik at det passer med opplysningene.

Oppgave 6

a)

Bruker Geogebra Suite. Legger inn verdiene i "Tabell", trykker på de 3 prikkene ved kolonne y1, og velger "Regression". I vinduet som kommer opp velger jeg "Potens" som regresjonsmodell.

Jeg får modellen $L(x)\approx 10\cdot x^{0,33}$

b)

Jeg legg inn linjen y=45 i Algebra-feltet, og bruker verktøyet "Skjæring mellom to objekt". Se punkt A.

Det tar 91 dager før Hanne klarer å løpe 45 minutter sammenhengende ifølge modellen.

c)

Jeg legger inn punkt B og C, og lager en linje mellom disse to punktene med verktøyet "Linje". Finner deretter stigningstallet til denne linjen med verktøyet "Stigning".

Tiden Hanne klarer å løpe sammenhengende har økt med ca. 0,5 minutter per dag fra dag 1 til dag 60 ifølge modellen.

Oppgave 7

Jeg har laget tre grupperte stolpediagrammer for å sammenligne menn og kvinners tid brukt på de ulike aktivitetene i 1970, 1990 og 2010, hver for seg. Jeg har vært nøye med å bruke samme avstand mellom enhetene på y-aksen for alle diagram, slik at de er sammenlignbare og forskjeller ikke overdrives.

Inntekstgivende arbeid: her bruker menn gjennomsnittlig mer tid per dag enn kvinner, for alle årstall. Vi ser likevel en nedgang i timer brukt for menn, og en økning i timer brukt for kvinner. I 2010 har kvinner likevel ikke tatt igjen menn.

Husholdningsarbeid: her bruker kvinner gjennomsnittlig mer tid per dag enn menn, for alle årstall. Vi ser likevel en nedgang i timer brukt for kvinner, og en økning i timer brukt for menn. I 2010 har menn likevel ikke tatt igjen kvinner.

Utdanning: vi ser at det gjennomsnittlig er brukt svært lite tid på utdanning per dag for både menn og kvinner, for alle årstallene.

Prosent forskjeller for kvinner sammenlignet med menn: vises i tabell. De mest bemerkelsesverdige tallene er at kvinner brukte 167 % mer tid enn menn på husholdningsarbeid i 1970, og 65 % mindre tid på inntektsgivende arbeid samme år.

Linjediagrammer: her ser vi utviklingen over tid for tidsbruken på de ulike aktivitetene. Jeg har laget et separat linjediagram for menn og kvinner. Vi ser godt at tidsbruken på utdanning er jevnt lav, og tidsbruken på husholdningsarbeid er høyest for kvinner; mens inntektsgivende arbeid er høyest for menn.

Oppgave 8

a)

Jeg viser to alternativer til å løse oppgaven.

Første alternativ er i Excel. Her har jeg en liste med uker fra 1 til 50 i kolonne A, og liste med km i kolonne B. Begynner med 40 km i celle B2. I celle B3 ganger jeg B2 med 1,05 (vekstfaktoren for 5 % vekst). Jeg autofyller formelen nedover. I uke 50 leser jeg av at Tore vil sykle ca. 437 km.

Andre alternativ er i CAS i Geogebra Calculator Suite. I linje 1 legger jeg inn en modell for K(x) antall km Tore sykler i uke x. I linje 2 finner jeg K(50). Tore vil sykle ca. 437 km i uke 50.

b)

Tore vil ha syklet til sammen ca. 8374 km i løpet av 50 uker dersom han klarer å følge planen.

Første alternativ: Løst i Excel med funksjonen =Summer() i celle B52.

Andre alternativ: Løst med =Sum(Uttrykk, Variabel, Startverdi, Sluttverdi) i CAS i Geogebra Calculator Suite. Se linje 3. Verdiene lagt inn er =Sum(K, x, 1, 50).