2PY 2018 høst LØSNING
Løsningsforslag laget av mattepratbruker LektorNilsen
DEL 1
Oppgave 1
1, 5, 1, 3, 3, 1, 4, 2, 4, 0
I stigende rekkefølge:
0, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 4, 5
Medianverdi blir gjennomsnittet av tall fem og seks, altså: $\frac{2+3}{2} = 2,5$
Typetall: 1 (den verdi det er mest av)
Gjennomsnitt, Summen av verdier, delt på antall verdier. $\frac{0+1+1+1+2+3+3+4+4+5}{10}= \frac{24}{10}= 2,4$
Variasjonsbredde er største verdi minus minste verdi: 5 - 0 = 5.
Oppgave 2
Dersom 5% tilsvarer 40 kroner, så er 1% det samme som $\frac{40}{5} = 8$kr. Varen kostet $100 \cdot 8\, kr = 800 \, kr.$ før den ble satt opp.
Oppgave 3
Kaffe i norge: 1 920 000 liter
Kopp: 1,5 desiliter
1 920 000 l = 19 200 000 dl = $1,92 \cdot 10^7$ dl
Deler totalvolumet på volumet av en kopp:
Det drikkes $\frac{1,92 \cdot 10^7}{1,5} = 1,28 \cdot 10^7$ kopper kaffe i Norge daglig.
Oppgave 4
$3^3 \cdot \frac 19 - 2^3(4-1) = \\ 27 \cdot \frac 19 - 8 \cdot 3 = \\ 3 - 24 = - 21$
Oppgave 5
a)
I kamp nr. 4 scoret hun 21 - 15 = 6 mål.
b)
På 6 kamper scoret hun totalt 30 mål. Det blir i snitt $\frac{30}{6} = 5$ mål per kamp.
Oppgave 6
a)
For å finne en tilnærmet verdi for gjennomsnittet i klassedelt materiale må vi anta at verdiene fordeler seg jevnt i hver klasse.
Vi multipliserer klassemidtpunktene med frekvensene, summerer og dividerer på det totale antall, som i dette tilfelle er 14 dager:
$5 \cdot 4 = 20 \\ 12,5 \cdot 3 = 37,5 \\ 17,5 \cdot 3 =52,5 \\ 25 \cdot 4 = 100 \\ 20 + 37,5 + 52,5 + 100 = 210 \\ 210:14 =15$
Grete gikk i gjennomsnitt 15 tusen skritt per dag.
b)
$Histogramhøyde = \frac{Frekvens}{Klassebredde}$
Husk at det er arealet av "søylene" som er viktig. Høyde gange bredde gir frekvensen i hver enkelt klasse.
Oppgave 7
a)
Dersom man løper med 10 km/h bruker man $\frac{1}{10}$ time på 1 km. 1/10 time tilsvar 6 min, siden det er 60 min i en time.
b)
$\frac{1}{12}$ time gir 5 min på en km.
c)
d)
Hun bruker 53 min på 10 km. altså brukte hun i snitt 5,3 min per km, eller 5 min og 18 sekunder.
Oppgave 8
a)
Figur 4.
b)
Små kvadrater i figur fem:
I denne type oppgave ser jeg alltid etter systemer. Vi ser at alle figurene har et kvadrat der sidekantene tilsvarer figurnummer i antall små kvadrater. Det blir 5 gange 5 som er 25. I tillegg har figuren to rader med små kvadrater som begge har ett mere enn figurtallet, altså 6 +6 = 12.
25 + 12 = 37 små kvadrater i figur 5.
c)
Vi tar utgangspunkt i figur nr. 3. Vi ser at vi kan dele alle figurene inn i tre områder, 1, 2 og 3. Fordi vi har figur nr.3 prøver vi nå å uttrykke antall små kvadrater med 3. Vi ser at:
Område 1: $3 \cdot 3$
Område 2: 3 + 1
Område 3: 3 + 1
For å finne et uttrykk for figur n, erstatter vi alle 3 tall med n og legger sammen:
$(n \cdot n) + (n+1) + (n+1) = n^2 +2n + 2 $
Vi kan døpe utrykket over til A, antall som funksjon av n og får:
$A(n) = n^2 +2n +2$
d)
$A(n) = n^2 +2n +2 \\ A(100) = 100^2 + 2 \cdot 100 + 2 \\ A(100)= 10000 + 200 +2 \\ A(100)=10202 $
DEL 2
Oppgave 1
a)
b)
Skriver y=92 i graftegneren. Verdien var lavere enn 92 kroner i ca. 6 uker, fra slutten av uke to til starten av uke åtte.
c)
Verdien varierte mellom 81,6 kroner og 163 kroner. Forskjellen var 81, 4 kroner.
d)
163 - 118 = 45
Aksjen steg med 45 kroner denne perioden. Gjennomsnittlig vekst per uke blir $\frac{45 \, kr }{30 \, uker} = 1,5$ kroner/uke.
e)
Mandag i uke 22 i 2017 avtar verdien av aksjen med 0,58 kroner per dag.
Oppgave 2
Her må man lese av diagrammet så godt man kan. Så lenge man viser utregningen og tankegang er det ikke så farlig om man leser av litt feil. Diagrammet er i utgangspunktet ikke svært nøyaktig.
2006 : ca. 155 minutter.
2016: ca. 65 minutter.
(lest av fra blågrå kurve) Dersom du har litt andre tall vil utregningen bli litt forskjellig, men det gjør ikke noe da dette er sånn cirka hele veien.
Nedgang i seertid var ca. 90 minutter.
I prosent blir nedgangen da $\frac{90}{155} = 0,58$, som er 58%.
Oppgave 3
a)
Når rente for 2018 er godskrevet , vil han i starten på 2019 ha 53 110 kroner på konto (se figur over).
b)
I starten på 2023, når rentene for 2022 er godskrevet, passerer han 60 000 kroner.
Det går altså ca. 12 år.
c)
Han kan ta 16 uttak. Det første i 2040 og det siste i 2055.
Oppgave 4
a)
Modellen passer godt.
b)
Tanken er full når vannhøyden er 10 meter. Det tar 28,14 timer, se figur i a.
Det pumpes inn $18 m^3 = 18 000$ liter per time. Når den er full er det $18000 \frac{liter}{time}\cdot 28,14 timer = 506520 $ liter i tanken.
Oppgave 5
a)
b)
99,15% er under 90 år. Finner det ved å lese av kumulativ relativ frekvens.
c)
Medianverdien finner man i gruppen 25 - 45 år (30,5% - 57%. fra kumulativ relativ frekvens).
d)
Dersom antallet fordeler seg jevnt i intervallet 25 - 45 er dette ett brukbart estimat på antallet under 30 år. Tallet er summen av alle fra 0 til 25 pluss en fjerdedel i intervallet 25-45 år.
Oppgave 6
a)
Antall gutter som drikker brus hver dag: $\frac{1}{3}\cdot 15=5$
Antall jenter som drikker brus hver dag: $\frac{1}{5}\cdot 15=3$
| Gutter | Jenter | Sum | |
|---|---|---|---|
| Drikker brus hver dag | 5 | 3 | 8 |
| Drikker ikke brus hver dag | 10 | 12 | 22 |
| Sum | 15 | 15 | 30 |
b)
P(eleven drikker brus hver dag)=$\frac{8}{30}=\frac{4}{15}\approx 0,267$
Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev drikker brus hver dag er ca. 26,7%.
c)
Helsesøster trekker kun blant de 8 elevene som har sagt at de drikker brus hver dag. Hun kan trekke først en gutt, så en jente, eller først en jente, så en gutt.
P(én gutt og én jente | drikker brus hver dag) = $\frac{3}{8}\cdot\frac{5}{8}+\frac{5}{8}\cdot\frac{3}{8}=\frac{15}{64}+\frac{15}{64}=\frac{30}{64}=\frac{15}{32}\approx 0,469$
Sannsynligheten for at helsesøster trekker én gutt og én jente er ca. 46,9%.
Oppgave 7
Situasjon 1
Når noe vokser med en gitt PROSENT per tidsrom er det eksponentiell vekst. Grafen vil stige, sakte i begynnelsen, så brattere og brattere. Dette passer med figur A.
Situasjon 2
Dersom noe minker (avtar , synker) med et gitt ANTALL per tidsrom har vi en lineær sammenheng ( rett linje). Siden det minker er linjen avtagende mot høyre (når tiden øker), altså figur D.
Situasjon 3
Dersom noe vokser hele tiden vil grafen alltid stige. I denne situasjonen vokser det, men veksten blir mindre med tiden. Det betyr at grafen "flater ut" (ikke helt). Dett passer til figur B.
Situasjon 4
Når noe avtar med en fast PROSENT per tidsenhet er det eksponentiell vekst (negativ). Grafen synker mye i begynnelsen og mindre etter som tiden går, men den synker hele tiden. Dette passer med figur F.