1T 2022 vår LK20 LØSNING

DEL EN

Oppgave 1

a)

$(x-2)(x+1) =0 $

$ x-2=0 \vee x+1=0 $

$x=2 \vee x=-1$

b)

I området fra -1 til 2 er produktet i a negativt. En mulig ulikhet blir da (x-2)(x-1) > 0. (tegn fortegnsskjema dersom du ikke ser det direkte).

Oppgave 2

$9x^2-30x +r = (3x-s)^2 = 9x^2 - 6sx +s^2 $

Ser at s må være 5 og r lik $s^2. r = 25$

Oppgave 3

Når tangens til en vinkel er $\frac 34$ betyr det at forholdene mellom katene er 3/4. Katetene kan ha lengdene 3 og 4, 6 og 8, osv.

Sinus til vinkel B kan IKKE være 3/10, fordi det er forholdet mellom motstående katet og hypotenus. Dersom katetet er 3 er hypotenusen 5 og dersom hypotenusen er 10 er katetet 6.

Katetetene kan være 6 og 8 fordi forholdet mellom dem da er 3/4.

Hypotenusen kan være kortere enn 4. dersom et katet er 0,75 og det andre er 1,0 er forholdet 3/4 og hypotenusen mindre enn 4.

Oppgave 4

Først defineres en funksjon f som kvadrerer x.

Så løper løkken gjennom tallene 1,2,3 osv. Disse kvadreres og printes. Når verdien til kvadratet når 400 stopper programmet.

Programmet printer ut de 20 første kvadrattallene.

Oppgave 5

Vertikal asymptote er nevnerens nullpunkt. Dersom nevneren er (x+2) gir det vertikal asymptote x = -2. Dersom x går mot uendelig skal f gå mot 3.

$f(x)= \frac{3x}{x+2}$ eller $f(x) = \frac{6x}{2x + 4}$ er eksempler på slike funksjoner.

Oppgave 6

a)

f(3) = 0 derfor er f delelig på (x-3)

b)

$f(0) = -9$, kan derfor utelukke grafen i A.

Dersom vi deriverer funksjonen ser man at x koordinatene til ekstremalpunktene ligger nesten like langt fra origo, på hver sin side av y aksen. Det stemmer med grafen i figur C.

DEL TO

Oppgave 1

Løser oppgaven i Geogebra.

a)

$V(0)=0$ (se algebrafeltet på skjermbildet). Det vil si at før tappingen starter (ved 0 minutter), så har det ikke blitt tappet ut noe vann av tanken (0 liter).

b)

Verdimengden til V er 2000. Jeg fant høyeste punkt på grafen, A=(40,2000), ved å bruke knappen "Ekstremalpunkt". Laveste punkt er (0,0). Verdimengden er da 2000 - 0 = 2000.

c)

Lager linjen y = 1000, og bruker knappen "skjæring mellom to objekt" mellom linjen og grafen til V. Får punkt B=(11.7, 1000). Det vil si at det tar 11,7 minutter før halvparten av vannet er tappet ut av tanken. Se punkt B.

d)

Lager punkt C=(0,V(0)) og D=(30,V(30)), og lager en linje som gå gjennom disse to punktene med knappen "linje". Finner stigningstallet til linjen med knappen "stigning". Stigningstallet er 62,5 (se verdien a1 i algebrafeltet). Svaret forteller oss at fra 0 til 30 minutter etter at tappingen har startet, tappes vannet med en gjennomsnittlig fart på 62,5 liter per minutt.

e)

Lager en glider b med kommandoen "glider(0,40,1)". Lager et punkt E=(b,V(b)) og tangenten til V i punktet E med knappen "tangenter". Viser stigningstallet til tangenten med knappen "stigning". Flytter på glideren slik at punkt E flytter seg langs hele grafen til V, og ser om stigningstallet noen gang overstiger 105. Jeg finner at det høyeste stigningstallet er 100, når E=(0,0). Se verdien a2 i algebrafeltet.

Det vil altså aldri tappes mer enn 105 liter i løpet av ett minutt.

Oppgave 2

Arket viser figurene fra 1 - 25. Figur nummeret kvadres og figuren før legges til.

a)

55 klosser

b)

1210 klosser

c)

Han kan lage 17 figurer og har 1279 klosser igjen.

Oppgave 3

a)

Se linje 5.

b)

Se linje 8. Må faktorisere ut 3 fra parentesen for å få uttrykket i oppgaven.

Oppgave 4

a)

a = 1,85 og b = 0,49.

b)

Modellen overestimerer allerede ved 120 minutter, men man kan si at den gir et greit bilde av temperaturforløpet de to første timene.

c)

Utfører regresjonen i Geogebra og får : $f(x) = -18,09 \cdot 0,98^x$

d)

f flater ut og får derved et større gyldighetsområde. T vokser hele tiden og vil avvike fra virkeligheten etter ca 120 minutter.

e)

$T_2(x)= -18,09 \cdot 0,98^x +20 $

$T_2(240)= -18,09 \cdot 0,98^{240} + 20 = 19,9 $ grader Celsius.

Oppgave 5

a)

Funksjonen har et min eller makspunkt i (1, f(1)). Stingningstall 6 for x=4 gir et minimumspunkt i (1,f(1))

$f(x)=ax^2+bx+c$

$f'(x) =2ax+b $

$1 = \frac{-b}{2a}$ og 8a + b = 6 gir f'(x) = 2x-2

b)

Det betyr at c = 4. a og b har vi fra oppgave a:

$f(x)= x^2-2x+4$

Oppgave 6

a)

Linje 2: x = 0

b)

'Se linje 3. b = - 3 eller b = 3.

c)

Se linje 5 og 6.