1T 2018 høst LØSNING

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas

Oppgave 1)

Definisjonen til sinus krever at vi kjenner hypotenusen:

$x^2= 36+ 64 \\ x= \sqrt{100} = 10$

$sin(v)= \frac{8}{10} = 0,8$

Oppgave 2)

$\frac{4x^2-4}{x^2-2x+1} = \frac{4(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-1)} = \frac{4(x+1)}{x-1}$

Oppgave 3)

$x^2-4x-12< 0 $

Faktoriserer ved hjelp av ABC formelen:

$x^2-4x-12 =0 \\ x= \frac{-(-4) \pm \sqrt{16-4 \cdot 1 \cdot (-12)} }{2 \cdot 1} \\ x= \frac{4 \pm 8}{2} \\ x= -2 \vee x= 6$

Får da:

$(x+2)(x-6) < 0$

$x \in < -2, 6 >$

Oppgave 4)

<math> \left[ \begin{align*} y=-x²+4 \\ y=x+2 \end{align*}\right] </math>

Løst ved regning:

$-x²+4=x+2 \\ -x²-x+4-2=0 \\ -x²-x+2=0$

Bruker abc-formelen $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2- 4ac}}{2a}$, a=-1, b=-1, c=2.

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2- 4\cdot(-1)\cdot 2}}{2\cdot(-1)}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1+8}}{-2}$

$x_1 = \frac{1+3}{-2} \vee x_2=\frac{1-3}{-2} $

$x_1=-2 \vee x_2=1$

Setter inn x-verdiene i likningen y=x+2.

$y_1=x_1+2=-2+2=0 \\ y_2 =x_2+2=1+2=3$

Løsning: $x_1=-2 \wedge y_1=0 \quad \vee \quad x_2=1 \wedge y_2=3$

Løst grafisk (du må tegne for hånd):

Den rette linja $y=x+2$ har stigningstall 1 og skjærer y-aksen i y=2.

Andregradsfunksjonen $y=-x²+4$ skjærer y-aksen i y=4. Nullpunktene er x=-2 og x=2. Du kan lage en skisse ut fra disse opplysningene, eventuelt lage en verditabell.

Leser av løsningen i skjæringspunktene mellom de to funksjonene, punkt A og B.

$L=\{(-2,0),(1,3)\}$

Oppgave 5)

$\sqrt{12} - \sqrt[6]{3^3}-\sqrt[4]{9}= \\ \sqrt{4 \cdot 3} - 3^{\frac{3}{6}} - 9^{\frac{1}{4}} =\\ 2\sqrt 3 - 3^{\frac 12} - (3^2)^{\frac 14} =\\ 2 \cdot 3^{\frac 12} - 3^{\frac 12} - 3^{\frac 12} =0 $

Oppgave 6)

$2^x \cdot 2^{\frac x2}= \frac 18 \\ 2^{x+ \frac x2} = 2^{-3} \\ 2^{\frac32x} =2^{-3} \\ \frac 32x = -3\\ 3x=-6 \\ x= -2$

Oppgave 7)

Det er mange måter å løse dette på.

Vi finner radien til $S_1$:

$O_1= 2\pi r_1 \\ 5 \pi = 2 \pi r_1 \\ r_1 = \frac{5 \pi}{2 \pi} \\ r_1 = 2,5$

Vi vet at $ \frac{A_2}{A_1} = 4$

Det betyr at:

$ \frac{A_2}{A_1} = \frac{\pi r_2^2}{\pi r_1^2} = 4 \\ \frac{r_2^2}{r_1^2}= 2^2 \\ r_2^2 = 2^2 \cdot r_1^2\\ r_2 = 2r_1 \\r_2= 5 $

Oppgave 8)

a)

$f ´ (0) = (0-1)(0-1)(0+2)= -1 \cdot (-1) \cdot 2 = 2$

Den momentane vekten i null er to.

b)

Fra punkt a vet vi at stigningstallet er to.

Vi har at y= ax + b, altså y = 2x+b.

Siden man spør om stigningen i origo er b lik null; y =2x

c)

$f ´(x)=0 \Rightarrow x= -2 \vee x = 1$

Sjekker så fortegnet til den deriverte på begge sider av punktene:

$f ´(-3) = (-4)(-4)(-1) = - 16 \\ f ´(-1) = (-2)(-2)(1)= 4$

(-2, -6) er et bunnpunkt.

Sjekker mulig terassepunkt ved å sjekke en verdi større enn x=1:

$f ´ (2) = (1)(1)(4) = 4$

Den deriverte skifter ikke fortegn (den deriverte for x=0 er positiv, fra opg. a) og vi kan konkludere at $(1, \frac 34)$ er et terassepunkt.

Oppgave 9

a)

Følgende ti kombinasjoner gir nøyaktig én toer:

$U= \{ (2,1), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (1,2), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2) \} $

Totalt er det $6 \cdot 6=36$ mulige kombinasjoner for ett terningkast med to terninger.

$ P(nøyaktig \, én \, toer)=\frac{10}{36}= \frac{5}{18} $

Sannsynligheten for å få nøyaktig én toer er $\frac{5}{18}$.

b)

Følgende fem kombinasjoner gir summen åtte:

$ U= \{ (2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4) \} $

I tre av tilfellene viser ingen av terningene en toer.

$P(ingen \, toer)= \frac{3}{5}$

Sannsynligheten for at ingen av terningene viser en toer er $ \frac{3}{5}$.

Oppgave 10

a)

Den korteste lengden av BC får vi dersom $\angle B$ er $90^\circ$. Vi vil da ha en 30-60-90 trekant, hvor den korteste kateten (BC) er halvparten så lang som hypotenusen (AC). Den minste lengden BC kan ha er altså 5 cm.

b)

$\frac{sin\,B}{AC}=\frac{sin\,A}{BC} \\ \frac{sin\,B}{10}=\frac{0,5}{8} \\ sin\,B=\frac{0,5}{8} \cdot 10 \\ sin\,B=\frac{5}{8} $

c)

Den andre løsningen blir $\angle B = 180^\circ -38,7^\circ =141,3^\circ $

Skisser av de to mulige trekantene:

Oppgave 11

a)

$ \angle F = \angle D$

Linje gjennom BC er felles i begge trekantene

$AC \parallel DE \Rightarrow \angle C = \angle E$

Trekantene er formlike.

b)

Bruker fomlikheten fra a:

$\frac{8-h}{h} = \frac{x}{x-6} \\ hx = 48-8x-6h+hx \\ 6h=-8x+48 \\ h= - \frac43x+8$

c)

Lengden av AB er 6. x må ligge i intervallet null til seks.

Areal av rektangel:

$A =g(x) = xh = x (- \frac 43x +8) = - \frac 43x^2+8x$

d)

Størst mulig areal:

$g´(x) = - \frac 83 x +8 \\ g ´(x) =0 \\ -\frac 83x +8=0 \\ x=3$

Oppgave 1

a)

b)

Nettet står midt på banen, 9 meter fra enden av banen på hver side. Lager linjen x=9, som representerer der hvor nettet står, og finner skjæringspunktet mellom linja og grafen til h. Vi ser av punkt A at etter 9 meter, er ballen 2,4 meter over bakken.

For en kvinne som slår ballen fra banens ende, vil ballen gå over nettet (som er 2,24 meter høyt).

For en mann som slår ballen fra banens ende, vil ballen akkurat ikke gå over nettet (som er 2,43 meter høyt). Hvis mannen går litt frem, vil ballen kunne gå over nettet.

Oppgave 2

a)

Funksjonen $f$ er gitt ved

$f(x)=-x³+k\cdot x² \quad , \quad k \geq 1$

Bestemmer nullpunktene:

$-x³+k\cdot x²=0 \\ x²(-x+k) = 0 \\ x_1= 0 \vee x_2=k$

Nullpunktene er (0,0) og (k,0).

b)

Bruker CAS til å finne x- og y-verdiene til topp- og bunnpunktet.

Bruker CAS til å vise at disse punktene er topp- og bunnpunkter, og ikke f.eks. terrassepunkter, ved å sjekke at den deriverte er negativ før bunnpunktet, positiv mellom bunn- og toppunktet, og negativ igjen etter toppunktet.

Vi har nå vist at vi har et bunnpunkt i $(0,0)$ og et toppunkt i $(\frac{2}{3} k , \frac{4}{27} k³)$.

c)

Bruker ettpunktsformelen: $(y-y_1)=a(x-x_1)$. Bruker CAS til å finne $y_1=f(1)$ og $a=f'(1)$.

Skriver om likningen for tangenten på formen $y=ax+b$:

$y=(-3+2k)x+(2-k)$.

d)

$2k-3 > 2k-4$, altså har vi at den momentane vekstfarten til $f$ når x = 1 , alltid er større enn den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ fra x = 0 til x = 2.

Opggave 3

a)

Krysstabell:

	Kjøpte popcorn	Kjøpe ikke popcorn	Sum
Kjøpte smågodt	80	140	220
Kjøpte ikke smågodt	200	30	230
Sum	280	170	450

Venndiagram:

b)

$P(popcorn \cap smågodt) = \frac{80}{450} \approx 0,178 = 17,8% $

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt kunde kjøpte både popcorn og smågodt er ca. 17,8%.

c)

$P(ikke\,popcorn | smågodt) = \frac{140}{220} \approx 0,636 = 63,6% $

Sannsynligheten for at kunden som kjøpte smågodt, ikke kjøpte popcorn, er ca. 63,6%.

Oppgave 4

a)

Bruker arealsetningen:

$A=\frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot sin(A) \\ A=\frac{1}{2} \cdot 2s \cdot 5s \cdot sin(60) \\ A=\frac{1}{2} \cdot 10s² \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ A= \frac{5\sqrt{3}s²}{2}$

b)

Bruker cossinussetningen:

$a²=b²+c²-2bc\cdot cos(A) \\ (BC)² = (2s)² + (5s)²-2\cdot 2s \cdot 5s \cdot cos(60) \\ (BC)² = 4s²+25s²-20s²\cdot \frac{1}{2} \\ (BC)² = 29s²-10s² \\ BC= \sqrt{19s²} \\ BC=s\sqrt{19}$

c)

Dersom trekanten er rettvinklet, vil man kunne bruke Pytagorassetningen.

Finner (AC)² + (BC)²:

$(2s)²+(s \sqrt{19})² = 4s² + 19s² = 23s² $

Dette er ikke likt (AB)², som er $(5s)²=25s²$. Altså stemmer ikke Pytagorassetningen for denne trekanten, og den er følgelig ikke rettvinklet for noen verdier av s.

Oppgave 5

De to første svarene i CAS angir den lengden av sidene i de to mulige trekantene. Det tredje svaret forkastes fordi den ene lengden er negativ.