1T 2017 vår LØSNING

DEL EN

Oppgave 1

$\frac{0,72 \cdot 10^8}{60 \cdot 10^{-8}} = \frac{72 \cdot 10^6}{6 \cdot 10^{-7}} = 12 \cdot 10^{6+7} = 1,2 \cdot 10^{14}$

Oppgave 2

$4^0 + 2^{-3} \cdot (2^3)^2 = 1+ 2^3 = 9$

Oppgave 3

$\sqrt{20} + \sqrt 5 - \frac{\sqrt{160}}{\sqrt 2}= 2 \sqrt 5 +\sqrt 5 - \frac{\sqrt4 \cdot \sqrt4 \cdot \sqrt 2 \cdot \sqrt 5}{\sqrt 2} \\ 2 \sqrt 5 + \sqrt5 - 4 \sqrt 5 = - \sqrt 5$

Oppgave 4

<math> \left[ \begin{align*}x^2+y^2= 4 \\ x+2 = y \end{align*}\right] </math>

Setter inn uttrykket for y i første ligning:

$x^2 + (x+2)^2 = 4 \\ x^2 + x^2 +4x +4 = 4 \\2x(x+2)=0 \\ x= 0 \vee x=-2$

Setter inn for x i en av ligningene og får følgende to løsningssett: (0, 2) eller (-2, 0)

Oppgave 5

$lg(x^2 + \frac 34) = 0 \\ 10^{lg(x^2 + \frac 34)} 10^0 \\ x^2 + \frac 34 =1 \\ x = \pm \frac 12$

Oppgave 6

$ \frac{1}{x} + \frac {x-5}{x-1}- \frac{2x-6}{x^2-x} = \\ \frac {}{}\frac{x-1}{x(x-1)} + \frac {x(x+5)}{x(x-1)} - \frac{2x-6}{x(x-1)} = \\ \frac {x-1+x(x-5) -2x +6}{x(x-1} = \\ \frac{x^2-6x+5}{x(x-1)}= \\ \frac {(x-1)(x-5)}{x(x-1)} = \\ \frac{x-5}{x} $

Oppgave 7

a)

	Papir	ikke papir	Total
Nett	32	48	80
Ikke nett	18	2	20
Total	50	50	100

b)

Både nett og papir:

P ( nett $\cap$ papir) = 32% (leser direkte fra tabell).

c)

Sannsynlighet for ikke papir, gitt nett:

P( ikke papir | nett) = $\frac{P( nett \quad \cap \quad ikke papir)}{P( nett)} = \frac{48}{80} = 0,6$

Oppgave 8

Den lengste siden i en rettvinklet trekant er hypotenusen. Kaller den for x:

$ x^2 = (x-2)^2+ 20^2 \\ x^2 = x^2-4x+4 + 400\\ 4x= 404 \\ x = 101$

Den lengste siden er 101.

Oppgave 9

a)

Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet:

$f(-2)= -8+12+4-3 = 5 \\ f(0)= -3 \\ \frac{f(0) - f(-2)}{2} = \frac{-3-5}{2} = -4$

b)

Momentan vekstfart for f når x = 2.

$f´(x)= 3x^2+ 6x-2 \\ f´(-2) = 12-12--2 = -2$

Oppgave 10

a)

$f(x)>0 \Rightarrow x \in <4, \rightarrow>$

b)

$f´(x) >0 \Rightarrow x \in < \leftarrow,1> \cup <3, \rightarrow>$

Oppgave 11

a)

Nullpunkter:

$ f(x)=0 \\ x^2-4x+3=0 \\ x= \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3}}{2} \\ x = 1 \vee x= 3$

Nullpunkter (1,0) og (3,0).

b)

c)

V finner den x verdi som gir f´(x) = 2. $f´(x) =2 \\ 2x-4 =2 \\ x=3$

Vi vet at f(3) = 0

Likningen for tangenten blir da: $y = ax + b \\ 0 = 2 \cdot 3 + b \\ b = -6$

y= 2x - 6 er likningen for tangenten med stigningstall 2.

d)

Se tangent i c. Likningen blir y = -2x + 2, fordi grafen skjærer y aksen i 2 og avtar med 2 for hver enhet mot høyre.

e)

Det er oppgitt at tangenten går gjennom (2, -2). Pga symmetri må den også gå gjennom (1,0).

Den deriverte blir da -2 : y = -2x + b som innsatt for (1, 0) gir b = 2, altså er ligningen for tangenten riktig.

Oppgave 12

a)

Sin (vinkel) = motstående katet delt på hypotenus: $Sin (30^{ \circ}) = \frac 12$

Cos (vinkel) = hosliggende katet delt på hypotenus: $Cos (30^{\circ}) = \frac{\sqrt{2^2-1^2}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad$ (her brukte vi pytagoras for å finne hosliggende katet)

Tan (vinkel) = Sin (vinkel) delt på Cos (vinkel): $ Tan (30^{\circ}) = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}} = \frac{1}{\sqrt3} = \frac{\sqrt 3}{3}$

b)

Bruker arealformenlen:

$A = \frac12 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \sin(30) = 2$

Arealet av trekanten er 2.

c)

Bruker cosinussetningen:

$(BC)^2 =4 + 16 - 2 \cdot 2 \cdot 4 \frac{\sqrt3}{2} = 20 - 8 \sqrt3 = 4(5 - 2\sqrt3) \\ BC = \sqrt{4(5 - 2\sqrt3)} = 2 \sqrt{5-2\sqrt3}$

DEL TO

Oppgave1

a)

b)

Fyllingsgraden er under 60% fra uke 4 til 27, altså ca 23 uker. Da er fyllingsgraden over resten av tiden, ca. 29 uker.

c)

Fra Figuren ser man at fyllingsgraden var lavest i uke 14, ca. 35,3%.

d)

Fra Grafen i a ser man at stigningstallet er 2,48. Det betyr at magasinet økte 2,48 prosentpoen i uke 22.

Ved regning:

$f'(x)= -0,0141x^2+0,80x-8,3 \\ f'(22)= 2,48 \\ f(22) = 46,95$

Likningenblir da:

$y = ax + b \\ 46,95 = 2,48 \cdot22 +b \\ b = -7,6 \\ dvs. \\ y = 2,48x - 7,6$

Oppgave 2

Barn koster x, voksen koster (x + 40):

$2(x + 40 )+ 3x = 520 \\ 5x = 440 \\ x = 88$

Det koster 88 kroner for barn og 128 kroner for voksne.

Oppgave 3

a)

Med geogebra får man f(x) = - 0,94x +30. Siden det er en modell kan man si ca. -x +30, dvs. at andelen dagsrøykere synker med ca. ett prosentpoeng i året.

b)

Ut på høsten i 2026 vil bedriften være nede i 5% i følge modellen ( som trolig ikke har et så stort gyldighetsområde).

Oppgave 4

a)

Lager et valgtre:

P(lekk)= $ \frac{80+25}{300} = 0,35$

Det er 35% sannsynlig at den er lekk ( ikke tett).

b)

Gitt lekk (ikke tett):

P ( lettmelk) $\frac{80}{80+25} = 0,7619$ som er ca 76,2%

Oppgave 5

Vi bruker cosinussettningen.

$s = \frac 83$ (utelukker de to andre.)

Oppgave 6

Fra linje tre ser man at (a, f(a)) er ett nullpunkt.

Fra linje seks ser man at f'(x) = 0 gi x = a som en løsning, derfor er P også et stasjonært punkt.

Vi ser at den deriverte vender sin hule side opp, og har to nullpunkter. Da må den skifte fortegn fra negativ til positiv i P, som da altså er et minimumspunkt.

a lik 2,3

Slik går det når a vokser,,,

Oppgave 7

a)

Pytagoras:

$(R+r)^2 = R^2 + (2R-r)^2 \\ R^2+ 2Rr + r^2 = R^2 + 4R^2 - 4Rr +r^2 \\ 6Rr = 4R^2 \\ r = \frac 23R$

b)

Arealet av det grå (blå) feltet er arealet av kvartsirkelen minus arealene av de to halvsirklene.

$A = \frac{\pi(2R)^2}{4} - \frac{\pi R^2}{2} -\frac{\pi( \frac{2R}{3})^2}{2} \\ A = \pi R^2- \frac{9 \pi R^2}{18} - \frac{4 \pi R^2}{18} \\ A = \frac{5 \pi R^2}{18}$