1T 2014 Høst LØSNING

Oppgave 1

Skriv svaret på standardform

$ \hspace{1cm} 25 \,000\, 000\, 000 \cdot 0.000 5 = 25 \cdot 10^9 \cdot 5 \cdot 10^{-4} = 125 \cdot 10^{9-4} = 1.25 \cdot 10^{7} $

Oppgave 2

Løs likningen

$ \begin{align*} 2^{x + \frac{x}{2}} & = 16 \\ \left( x + \frac x2 \right)\log 2 & = 4 \log 2 \\ \frac{3}{2}x & = 4 \end{align*} $

Hvor vi tok logaritmen på begge sider i andre overgang. Her ble det brukt at $\log a^b = b \log a$ og at $\log 16 = \log 2^4 = 4 \log 2$. Som en artig kuriositet kunne ha brukt logaritmen med grunntall 2 i stedet for e for å ha fjernet logaritmen direkte.

Svaret blir altså $x = \frac 83 = 2 + \frac{2}{3}$ som kan testes ved innsetning. Alternativt kunne vi ha skrevet

$ 2^{x + \frac x2} = 2^{ 4 } $

Om $a>0$ og $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ da må $f(x) = g(x)$. Dermed så er $x + \frac c2 = 4$ og vi får $x = 8/3$ som før. Dette er egentlig bare å ta toerlogaritmen $\log_2 (x)$ på begge sider.

Oppgave 3

Løs likningen

$\lg (2x -3) = 0$

Vi opphøyer begge sider i 10 og får

$ \begin{align*} \lg (2x -3) & = 0 \\ 10^{\lg(2x-3)} & = 10^0 \\ (2x-3) & = 1 \\ x = & 2 \end{align*} $

Merk at $\lg x$ betegnes som den brigske logaritmen, mens $\log x$ er den naturlige logaritmen,

Oppgave 4

Løs ulikheten

$ x^2 + x > 2 $

Første steg er å finne nullpunktene til ulikheten. Via andregradsformelen blir nullpunktene

$ x = \frac{-1 \pm \sqrt{ 1^2 - 4(1)(-2) }{ 2 \cdot 1} = \frac{ -1 \pm 3 }{2} = -2 \ \vee \ 1 $

Vi kunne også bestemt røttene ved faktorisering eller vietes "formel". Vi ønsker å finne to tall slik at $a+b = 1$ og $a \cdot b = -2$. Her ser en rastk at $a = 2$ og $b = -1$ fungerer. Altså er $x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)$.