1T 2013 høst LØSNING

Oppgave 1:

$7,5 \cdot 10^{12} \cdot 4,0 \cdot 10^{-4} = 30 \cdot 10^{12+(-4)} = 30 \cdot 10^8 = 3,0 \cdot 10^9$

a)

	Blå bukser	Svarte bukser	Total
Bukser som passer	$3$	$3 $	$6$
Bukser som ikke passer	$1$	$3$	$4$
Total	$4$	$6$	$10$

b)

P (buksa passer) =$\frac {6}{10}$ = 60%

Det er 60% sjanse for at buksa passer.

c)

P ( blå bukse, gitt at den passer) = $\frac 36 = \frac 12 = $ 50%

Det er 50% sjanse for at buksa er blå, når vi vet at hun har trukket en bukse som passer.

Oppgave 3:

$\frac {2x^2-18}{x^2+6x+9} = \frac {2(x+3)(x-3)}{(x+3)(x+3)} = \frac{2(x-3)}{x+3}$

Oppgave 4:

$ \frac{\sqrt 2 \cdot 2^0 \cdot 2^{-1}}{8^{\frac12} \cdot 2^{-2}} = \frac{2^{\frac 12} \cdot 2^{-1}}{2^{\frac 32}\cdot 2^{-2}} = \\ 2^{\frac12 -1-\frac32 + 2} = 2^0=1 $

Oppgave 5:

$2\lg x-8=5\lg x+1 \\ -3\lg x =9 \\ \lg x =-3 \\ x = 10^{-3} = 0,001$

Oppgave 6:

Rett linje: y = ax + b

stigningstall: $a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{5-2}{3-1} = \frac 32$

Bruker dette sammen med første punkt og får:

$y=ax + b \\ 2= \frac 32 \cdot 1 + b \\ b= \frac 12$

Dvs:

$y = \frac 32x + \frac 12$

Oppgave 7:

$ -x+y =2 \\ -2x^2+y^2 =4 $

$ y =2 + x \\ -2x^2+(2+x)^2 =4 $

Finner x fra den nederste ligningen:

$4x-x^2 = 0\\ x(4-x) =0\\ x=0 \vee x=4$

Setter inn i -x+ y = 2 for å finne tilhørende y verdier.

Finner da at x = 0 gir y = 2 og x = 4 gir y = 6, så svarene er ( 0, 2) og (4, 6).

Oppgave 8:

a)

$f(x) = x^3-3x^2 \quad D_f = \R \\ f´(x) = 3x^2-6x \\ f´(x)=0 \\ x(3x-6)= 0 \\ x= 0 \vee x = 2$

Setter 0 og 2 inn i funksjonsuttrykket for å finne ekstremalpunkt:

$f(0)= 2 \wedge f(2)= -4 $

Vi har ekstremalpunktene ( 0, 0 ) og ( 2, -4 ).

f ´ ( -1) er positiv.

f ´( 1) er negativ og

f ´( 3) = er positiv. Det betyr at (0, 0) er et maksimumspunkt og ( 2, -4) er et minimumspunkt.

b)

Faktoriserer f(x):

$f(x) = x^3-3x^2 = x^2(x-3)$

Setter f(x) = 0 og får:

$f(x)=0 \\ x^2(x-3)=0 \\ x=0 \vee x =3$

Nullpunkter er (0, 0) og (3, 0).

c)

Oppgave 9:

Cosinus til en vinkel i en rettvinklet trekant er definert som hosliggende katet delt på hypotenusen. $ cos C = \frac 37$

Oppgave 10:

Bruker først Pytagoras på den rettvinklede trekanten til høyre, for å finne det ukjente katetet.

Lengden av hypotenusen i den rettvinklede trekanten til venstre er $ \sqrt {4^2 + 1^2} = \sqrt {17}$ . omkretsen blir derved 10 + 5 + 6 + $ \sqrt{17} = 21 + \sqrt{17}$ .

Oppgave 1

a)

b)

Fiskebestanden var minst sommeren 2008, da var den i overkant av 51 tonn.

c)

$f(x) = 3x^3-48x^2+162x+300 \\ f ´(x)= 9x^2-96x+162$

Finner minimumspunktet ved å sette den deriverte lik null.

$f ´(x)= 9x^2-96x+162 \\f´(x) = 0 \\ 9x^2-96x+162 = 0 \\ x= \frac{96 \pm \sqrt{96^2 - 4 \cdot 9 \cdot 162}}{18} \\ x=2,1 \vee x=8,5$

Nå vet vi fra oppgave a og b at 2,1 er et maksimum og 8,5 et minimum. Dersom man liker å regne ser man at den deriverte er negativ før 8,6 , og positiv etter 8,6. Det betyr at 8,6 er et minimumspunkt.

d)

$f(x) = 3x^3-48x^2+162x +300 \\ f(5) = 3 \cdot 5^3-48 \cdot 5^2+162 \cdot 5 +300 = 285 \\ f ´(x)= 9x^2-96x+162 \\ f´(5)= 9\cdot 25 -96 \cdot 5 + 162= -93$

f(5) forteller oss at bestanden i 2005 var på 285 tonn. den deriverte forteller oss at nedgangen per år, slik den sees i 2005, er på 93 tonn.

Oppgave 2

a)

$f(x) = 20000 \cdot 0,92^x \\ f(1)= 20000 \cdot 0,92^1 = 18400 \\ f(10)=20000 \cdot 0,92^{10} = 8687,8$

Etter ett døgn er det 18400 liter igjen, og etter ti døgn er det 8687,8 liter igjen i dammen.

b)

$f(x)= 5000 \\ 20000 \cdot 0,92^x \\ 0,92^x = \frac 14 \\ x\cdot lg0,92 = lg0,25 \\ x= 16,6$

Det vil ta ça. 16,6 døgn før det er 5000 liter igjen i dammen.

Oppgave 3

Sannsynligheten p for at en syklist sykler uten lys er 0,2.

$P(X=k)= \binom{n}{k} p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

a)

Ingen sykkler uten lys:

$P(X=k)= \binom{n}{k} p^k \cdot (1-p)^{n-k} \\ P(X=0)= \binom{10}{0} 0,2^0 \cdot 0,8^{10} = 0,107$

Minst en sykler uten lys i mørket er da 1 - 0,107 = 0,893 = 89,3%.

b)

Sannsynligheten for at nr, 1, nr. 4 og nr. 10 sykler uten lys. Her er bare en kombinasjon mulig:

$P(\text{1,4 og 10 uten lys}) = 0,2^3 \cdot 0,8^7 = 0,00167 \approx 0,2 \%$

c)

Tre av ti kjører uten lys:

$P(X=3)= \binom{10}{3} 0,2^3 \cdot 0,8^{7} = 0,2013$

Det er ca 20% sannsynlig at tre syklister sykler uten lys.

Oppgave 4

Hver av dem har så mange mynter:

Pål = x

Espen = 2x

Per = 6x

til sammen har de 198 mynter.

6x + 2x + x = 198

9x = 198

x = 22

Pål har 22 mynter, Espen har 44 mynter og Per har 132 mynter.

Oppgave 5

Trekantene kan se slik ut;

AB er 8,0cm. Både AC og AD er 5,0 cm. Begge trekantene er $17,5cm^2$ (bommet med en hundredel på den ene :-)).

I dagens dataverden der matematikk får stadig mindre rom i skolen er vel oppgaven å betrakte som løst. Men, dersom man ønsker en mere analytisk tilnærming kan man gjøre slik:

$ T= \frac 12 bc \sin A \\ \Downarrow \\ \sin A= \frac{2T}{bc} \\ \sin A= \frac{2 \cdot 17,5}{8 \cdot 5} \\ A= 61^{\circ} \vee A = 180^{\circ} -61^{\circ}= 119^{\circ} $

Vinkelen mellom den 8,0 cm lange siden og den 5,0cm lange siden er 61 grader eller 119 grader.

Oppgave 6

a))

Areal av trekanten ABE: $T_{ABE} = \frac 12 \cdot AE \cdot BE \cdot \sin 30^{\circ} = 9,0 m^2$

b)

Skal finne lengden av CE. Her er det bare å bruke cosinussettningen rett fram, alle størrelser er kjente:

$(CE)^2 = (ED)^2 + (CD)^2 - 2\cdot ED \cdot CD \cos 85,3^{\circ} \\ = 9m^2 +81m^2 - 2\cdot 3m \cdot 9m \cdot 0,0819 \\ = 90m^2 - 4,42 m^2 \\CE = 9,3m$

c)

Lengden av BC kan man finne ved å bruke sinussettningen, men vi må først finne vinkel ECB, for så å finne vinkel BEC som er motstående vinkel til siden BC.

$ \frac {\sin ECB}{6,0} = \frac{\sin 83,3^{\circ}}{9,3} \\ \sin ECB = 0,64 \\ \angle ECB = 39,8^{\circ}$

Da er vinkel BEC : 180 - 39,8- 83,3 = 56,9 grader.

Finner så siden BC:

$ \frac {\sin 56,9^{\circ}}{BC} = \frac{\sin 83,3^{\circ}}{9,3} \\ BC = 7,8$

BC er 7,8 meter lang.

Oppgave 7

a)

Bruker Pytagoras og finner at y = $\sqrt 5$, dvs. høyden av kjeglen er h = 3 + y = 3 + $\sqrt 5 \approx$ 5,24

b)

$V = \frac 13 \pi r^2h = \frac 13 \cdot \pi \cdot 4 \cdot 5,24 \approx 21,9 $

c)

$V = \frac 13 \pi r^2h = \frac 13 \pi \cdot x^2 \cdot (3+y) = \frac 13 \pi \cdot x^2 \cdot (3+ \sqrt{3^2 - x^2} )=\frac 13 \pi \cdot x^2 \cdot (3+ \sqrt{9 - x^2}) $

d)

Man observerer at kjeglen har sitt største volum på 33,5 kubikk lengdeenheter. Da er radius 2,83 lengdeenheter. kjeglens flate er i den nedre halvkulen. Høyden er $h=3+ \sqrt{9-x^2} = 3 + \sqrt{9-2,83^2} = 4$. Høyden er 4 lengdeenheter.