1T 2010 høst LØSNING
DEL 1
Oppgave 1
a)
<math> x+y=4 \wedge 3x - y =8</math>
<math>y=4-x \wedge 3x-4+x=8</math>
<math>y=4-x \wedge 4x=12</math>
<math>y=4-x \wedge x=3</math>
<math>y=1 \wedge x=3</math>
<math>x=3 \wedge y=1</math>
b)
1)
2)
<math>- \frac14x+2 =2x- \frac52</math>
<math>x+8 =8x- 10</math>
<math>- 9x = - 18</math>
<math>x = 2</math>
c)
<math>5,7 \cdot 10^4 + 3,0 \cdot 10^3 = 57000 + 3000 = 60000 = 6,0 \cdot 10^4</math>
d)
<math> \frac{3}{x+4} + \frac{24}{x^2-16} = \frac{3}{x+4} + \frac{24}{(x+4)(x-4)}= \frac{3 (x-4)}{(x+4)(x-4)} + \frac{24}{(x+4)(x-4)}= \\ \frac{3x-12}{(x+4)(x-4)} + \frac{24}{(x+4)(x-4)}= \frac{3x + 12}{(x+4)(x-4)} = \frac{3(x+4)}{(x+4)(x-4)}= \frac{3}{x-4}
</math>
e)
Bruker abc formelen og faktoriserer:
<math>x^2+2x-8 \geq 0 \\ (x+4)(x-2) \geq 0</math>
Tegner fortegnsskjema:
<math>x \in < \leftarrow, -4] \cup [2, \rightarrow ></math>
f)
g)
1)Sannsynlighet for å like begge:
<math>P(liker \quad begge) =\frac{16}{25}\cdot \frac{15}{24} = \frac{2}{5}\cdot \frac{3}{3} =\frac 25</math>
2) Sannsynligheten for bare å like en:
<math>P(liker \quad bare \quad en) = \frac{16}{25} \cdot \frac{9}{24} + \frac{9}{25} \cdot \frac{16}{24} = \frac{12}{25}</math>
Oppgave 2
a)
<math> f(x) = \frac 13x^3-^x^2 + 7 \\ f'(x) = x^2-2x \\ f'(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 = -1</math>
b)
<math>f(0)= 7 \\ f(3) = 7</math>
Den gjennomsnittlige veksten fra x = 0 til x = 3 er null. Siden den momentane vekstfarten for x = 1 er -1 har funksjonen et minimumspunkt i intervallet.
c)
<math>f'(x) = 0 \\ x^2 - 2x = 0 \\ x(x-2) = 0 \\ x=0 \wedge x=2</math>
<math>f(0)= 7 \\ f(2) = \frac{17}{3} </math>
Sjekker forttegnet for den deriverte for x = -1 og x = 3 og finner at begge er positive. Fra før vet vi at den deriverte er negativ for x=1.
Maksimumspunkt: <math>(0, 7)</math>
Minimumspunkt:<math>(2, \frac{17}{3})</math>
DEL 2
Oppgave 3
a)
b)
Det vil finne sted når brøkeksponenten er en, altså etter 5730 år.
c)
<math>T(x) = 100 \cdot 0,5^{\frac{x}{5730}} \\ \Downarrow \\ 0,865 = 0,5^{\frac{x}{5730}} \\ \Downarrow \\ x = 5730 \cdot \frac{lg 0,865}{lg 0,5} = 1200
</math>
Brønnen var ca. 1200 år gammel.
Oppgave 4
a)
<math> tan(51,3^{\circ}) = \frac{h}{10m}\\ \Downarrow \\
x= 10 \cdot tan(51,3^{\circ})\\ \Downarrow \\ x = 12,48 m</math>
b)
<math> \frac{Sin (15,4 ^{\circ})}{40m} = \frac{Sin (94,9 ^{\circ})}{AB} \\ \Downarrow \\ AB = 150m </math>
c)
Finner først en vinkel ved å bruke cosinussetningen. Bruker så arealsetningen.
<math> 14^2 = 24^2 + 20^2 - 2 \cdot 20 \cdot 24 \cdot cos A \\ cos A = \frac{14^2-24^2-20^2}{-2 \cdot 20 \cdot 24}\\ A= 35,7^{\circ}</math>
Dette er vinkelen mellom sidene som er 24m og 20m. Arealet blir:
<math>A= \frac 12 \cdot 20m \cdot 24m \cdot sin 35,7^{\circ}= 140m^2</math>
Oppgave 5
a)
b)
<math>P(oensker \quad ballbinge) = \frac{130}{240} = 0,54 </math>
c)
<math> P(mann \quad gitt \quad oensker \quad ballbinge) = \frac{63}{130} = 0,48 </math>
d)
<math> \frac{130+x}{240 + x} = 0,75 \\ x = 200</math>
Det må verves 200 personer som ønsker ballbinge.
Oppgave 6
a)
Den faste månedsprisen er ca. 90 kroner, lest av graf.
Pris for 500 minutter er 340kr. Prisen per ringeminutt blir da:
<math>\frac{340kr - 90kr}{500min} = 0,50kr/min </math>
b)
c)
Dersom man ringer mindre enn 63 min. per måned er A billigst.
Dersom man ringer mellom 63 min. og 384 min. er B billigst.
Over 384 min. er C billigst
Oppgave 7
a)
Sannsynlighet for at alle er på Facebook: P(alle er på) = <math>(0,95)^{25} = 0,277 </math>
Det er 27,8% sannsynlighet for at alle er på.
b)
<math> P(flere \quad enn \quad 20)=P(X=21) +P(X=22) + P(X=23) +P(X=24)+P(X=25) = \\ \left ({25}\\{21} \right) 0,95^{21} \cdot 0,05^{4} + \left ({25}\\{22} \right) 0,95^{22} \cdot 0,05^{3} + \left ({25}\\{23} \right) 0,95^{23} \cdot 0,05^{2} + \left ({25}\\{24} \right) 0,95^{24} \cdot 0,05^{1} + \left ({25}\\{25} \right) 0,95^{25} \cdot 0,05^{0} = 0,992</math>
Det er 99,2% sannsynlig at mer enn 20 har profil på Facebook.
Oppgave 8
Alternativ 1
a)
<math> f(x) = -2x^2 + ax + 4 \\ f'(x) = -4x + a \\f'(x) = -4x + 2 \\ f'(x) = 0\\ -4x + 2 = 0 \\ x = \frac 12</math>
Toppunkt <math>( \frac 12,\quad f(\frac 12))</math> dvs. <math> (\frac12,\quad \frac 92)</math>
b)
<math>f'(-1) = 0 \Rightarrow -4(-1) + a = 0 \Rightarrow a=-4</math>
c)
Ser at funksjonen har konstantledd lik 4. Det betyr at grafen alltid går gjennom punktet (0,4) uansett x og a verdier. Den laveste verdi for toppunktet blir derfor når x = 0. Altså når det er symmetri om y aksen
<math>x= \frac a{-4} \Rightarrow 0 = \frac a{-4} \Rightarrow a=0</math>
dersom man bruker glider på a i Geogebra løser man både b og c ved inspeksjon.
Alternativ 2
a)
Bruker pytagoras: Desom trekanten er rettvinklet må siden på 27cm være hypotenusen.
<math>(27cm)^2 = 729 cm^2</math>
må da være lik summen av kvadratene utspendt av eventuele kateter:
<math>(20cm)^2 + (12cm)^2 = 544cm^2 </math>
Hvilket betyr at trekanten IKKE er rettvinklet.
b)
Kaller det ukjente katetet for x og hypotenusen for y.
<math>2+x+y = 6 \quad \wedge \quad 2^2 + x^2 = y^2 \\ x=4-y \quad \wedge \quad 4+ x^2 = y^2 \\ x = 4-y \quad \wedge \quad 4 + (4-y)^2 = y^2x = 4-y \quad \wedge \quad 4 + 16 - 8y + y^2 = y^2 \\ x = 4-y \quad \wedge \quad 8y = 20 \\ x = 1,5 \quad \wedge \quad y = 2,5</math>
c)
Motstående side til vinkelen på 120 grader kaller vi y. Den ukjente tilstøtende siden til vinkelen på 120 grader blir da 4-y. Cosinussetningen gir:
<math>y^2 = 2^2 + (4-y)^2 - 2 \cdot 2 \cdot (4-y) \cdot cos120 \\ y^2 = 4 +16 -8y +y^2+8 -2y \\ 10y=28\\y=2,8</math>
Dvs: x = 1,2m og y = 2,8m