1P 2011 høst LØSNING

DEL EN

Oppgave 1:

a)

$\frac x6 = \frac{5}{1,5} \\ 1,5x = 30 \\ x =20$

Det trengs 20 dl, eller 2 liter vann for å lage havregrøt av 6 dl gryn.

b)

Vi har ikke kalkulator, men bruker Pytagoras likevel. Summen av kvadratene utspent av katetene er $6^2+5^2=36+25=61$. Dette skal være lik kvadratet utspent av hypotenusen. Tenker vi på kvadrattallene vet vi at $7^2=49$ og $8^2 = 64$. Vi trenger altså mer enn syv lengder, altså må hun kjøpe 8 lengder.

c)

1)

$\frac{184}{160} = 1,15$, dvs. 15% økning.

2)

Da har den også økt med 15%, altså fra 100 til 115.

d)

Hun har totalt 8 pakker å velge mellom.

1)

P(Kiwigele) = $\frac 28 = 25$%

Det er 25% sannsynlighet for at den første pakken hun trekker er kiwi.

2)

P(Kiwigele) = $\frac 28 \cdot \frac 17 = \frac{2}{56} = 3,6$%

Det er 3,6% sjanse for at begge pakkene hun trekker er kiwigele.

3)

Sannsynlighet for en pakke blåbær og en pakke kiwi gele:

P(en kiwigele og en blåbærgele) $ =\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{7} + \frac{2}{8} \cdot \frac {1}{7} = \frac{2}{56} + \frac{2}{56} = \frac{1}{14} =7,1 $ %

Det er 7,1% sannsynlig at hun trekker en blåbær og en kiwigele.

e)

Volumet av melisen i prismet: $V= l \cdot b\cdot h = 8cm \cdot 6cm \cdot 16cm = 768 cm^3 = 0,768 dm^3 = 0,768 liter = 7,68 desilliter$

Volumet av pakken er 0,768 liter.

Volumet av sylinderformet boks er :

$V = \pi r^2h = \pi \cdot (6cm)^2 \cdot 10cm =360 \pi cm^3 \approx 1130 cm^3 =1,13 dm^3 = 1,13 liter$

Melisen vil få plass.

f)

Han har en fastlønn på 50 kr. per time. I tillegg tjener han 5 kr. per kg. moreller han plukker. Dette ser man fordi grafen krysser y aksen i 50 kr. og for hver kg. vi går bortover på x-aksen stiger grafen med 5 enheter på y - aksen.

g)

Proporsjonalitet: $y = kx$

Dersom to størrelser er proporsjonale vil den ene øke når den andre øker. Forholdet mellom dem er konstant.

Omvendt proporsjonalitet: $y = \frac kx$

Dersom to størrelser er omvendt proporsjonale vil den ene bli mindre når den andre øker. Produktet av to omvendt proporsjonale størrelser er konstant.

Rektanglene her har lengder og bredder som er omvendt proporsjonale. Arealet er konstant.

h)

$18 = \frac{(x+x+2)\cdot2}{2} \\ 2x+2=18 \\ 2x=16 \\ x=8$

Når trapeset har en høyde på $2cm$, vil arealet være $18cm^2$ når den ene siden er $8cm$, og den andre er $8cm + 2cm = 10cm$.

Areal av trapes :

$A = \frac{a +b}{2} \cdot h \\ A = \frac{8 cm + 10cm}{2} \cdot 2 cm = 18cm^2 $

a og b er lengden av de parallelle sidene.

Oppgave 2:

a)

Et annuitetslån er et lån der du betaler et fast beløp hver måned som dekker både renter og avdrag. I begynnelsen går mesteparten til å dekker renter. Etter som tiden går, går mer og mer av det månedlige beløpet til å dekke avdrag. Et annuitetslån er normalt noe dyrere enn et serielån fordi man betaler noe for muligheten til å kunne betale samme beløpet hver termin.

Et serielån har faste avdrag og renteutgiftene er høyest i begynnelsen av låneperioden. Belastningen økonomisk blir derved størst i begynnelsen og det passer normalt dårlig for unge mennesker i etableringsfasen. dersom du har råd er imidlertid denne kontrakten normalt billigere enn annuitetslån.

b)

Fordi han betaler avdrag på kr. 10.000 per år. 10% av 10.000kr er 1000 kr. Lånet blir 10.000kr mindre hvert år.

c)

Fra Figuren ser det ut som terminbeløpet på annuitetslånet er ca. 16.200kr. Dvs, den totale tilbakebetalingen er 162.000 kroner.

20 +19 +18 +17 + 16 +15 +14 +13 +12 + 11 = 155

Dvs serielånet koster 55 tusen kroner. Jonas må betale 55 tusen pluss lånebeløpet på 100 tusen tilbake, dvs. totalt 155.000 kroner

Annuitetslånet blir dyrere, fordi nedbetalingene i starten er lavere (avdragene).

DEL TO

Oppgave 3:

a)

Bruker Pytagoras og får:

$BD = \sqrt{7^2+5^2 m^2 } = \sqrt{74} m \approx 8,60m$

b)

Det kvadrattallet, K, som ligger nærmest 74, er 81.

$\sqrt T = \frac 12 ( \sqrt K + \frac{T}{\sqrt K} )= \frac 12 ( \sqrt {81} + \frac{74}{\sqrt{81} }) = \frac{155}{81} \approx 8,61$

Tilnærmingen er god for mange formål.

Oppgave 4:

a)

Volum liten kake: $ V = \pi r^2h = \pi \cdot (10 cm)^2 \cdot 7 cm = 2199 cm^3 $

Per person: 2199 $cm^3$ : 10 pers. = 220$cm^3$ per person

Volum medium kake: $ V = \pi r^2h = \pi \cdot (13 cm)^2 \cdot 7 cm = 3717 cm^3 $

Per person: 3717 $cm^3$ : 16 pers. = 232$cm^3$ per person

Volum stor kake: $ V = \pi r^2h = \pi \cdot (15 cm)^2 \cdot 7 cm = 4948 cm^3 $

Per person: 4948 $cm^3$ : 25 pers. = 198$cm^3$ per person

Mest kake per person er det i den medium store kaken.

b)

Kakens mål er med marsipanlokk. Dvs. radius uten marsipan er 14,7 cm, høyden er 6,7 cm.

Vi regner volumet av kaken uten marsipan. $V = \pi ((14,7cm)^2 \cdot 6,7cm = 4548,4 cm^3$

Volum av marsipan: $V= 4948cm^3 - 4548cm^3 = 400 cm^3 = 0,4 dm^3 = 4 dl$

c)

Marsipanpølsen som har form som en sylinder har volumet: : $V= \pi r^2h = \pi \cdot 4cm^2 \cdot 20 cm = 251cm^3$

Det betyr at man trenger to slike pølser, da får man ca. en dl til overs.

Oppgave 5:

a)

Erik :

Alminnelig inntekt: 409.700 kr - 72.800 kr. = 336.900kr

Erik betaler ikke toppskatt

Betalt trygdeavgift: $409.700 \cdot 0,078 = 31.956,60 kr.$

Betalt inntektsskatt: 336.900kr $\cdot$ 0,28 = 94.332kr.

Nettolønn: 409.700kr. - 31.956,60kr. - 94.332kr. = 283.411,40 kr.

Elin:

Alminnelig inntekt: 518.000 - 72.800 = 445.200

Betalt toppskatt: 518.000 kr. - 456.900 kr. = 61.100 kr 61.100 kr $\cdot$ 0,09 = 5499 kr.

Betalt trygdeavgift: 518.000kr $\cdot $ 0,078 = 40.404 kr.

Betalt inntektsskatt: 445200 kr $\cdot$ 0,28 = 124.656 kr.

Nettolønn: 518.000kr. - 5499kr. - 40.404kr. - 126.656 kr. = 347.441kr.

b)

Erik betaler: $ \frac{126.288,60kr}{409.700 kr}\cdot 100 $ % = 31% i skatt.

Elin betaler: $ \frac{170.599kr}{518.000 kr}\cdot 100 $ % = 33% i skatt.

c)

Erik er fortsatt under toppskatten og betaler 7,8% pluss 28%, som er 35,8%

Elin betaler i tillegg toppskatt på 9%, dvs. 44,8%

d)

$\frac{441300kr}{118,6} = \frac{x}{128,8} \\ x = \frac{441300kr \cdot 128,8}{118,6}=479 253,29kr$

Elin ville ha tjent $479253,29kr$ dersom reallønnen ikke hadde forandret seg fra 2007 til 2010.

Alternativ utregning:

Reallønn 2007: $\frac{Reallønn}{100} = \frac{ 441300kr}{118,6} \\ Reallønn = \frac{441300kr}{ 1,186} \\ Reallønn = 372091 kr$

Dersom samme reallønn vil lønnen i 2010 være: $\frac{372091 kr.}{100} = \frac{ Lønn}{118,6} \\ Lønn= \frac{372091kr}{ 100} \cdot 128,8 \\ Lønn =479253,29 kr$

Oppgave 6:

a)

	Jente	Gutter	Total
Moped	$8$	$9 $	$17$
Ikke moped	$4$	$6$	$10$
Total	$15$	$6$	$27$

b)

P( ikke moped) = $\frac{10}{27} \approx 37$ %

c)

P( gutt, gitt at eleven kjører moped) = $\frac {9}{17} \approx 53$ %

d)

Her bruker vi multiplikasjonsprinsippet. Sannsynligheten for at en jente med moped kommer tidsnok er (1-0,1= 0,90 = 90%. Sannsynligheten for at en jente uten moped kommer tidsnok er (1 - 0,05) = 0,95 = 95%

Det er 8 jenter som kjører moped. Dersom man multipliserer 0,90 med seg selv 8 ganger får man $0,90^8$ . Gjør man tilsvarende for de som ikke kjører moped får man $0,95^4$. Dersom alle skal komme tidsnok må man multiplisere utrykkene for med og uten moped med hverandre. Altså $0,90^8 \cdot 0,95^4$ .

e)

Sannsynligheten for at minst en elev kommer for sent er jo ( 1 - sannsynligheten for at ingen elever kommer for sent). Sannsynligheten for at ingen elever kommer for sent er

$0,90^{17}\cdot 0,95^{10} = 0,1$

Sannsynligheten for at minst en elev kommer for sent blir: P(minst en elev for sent) = 1 - 0,1 = 0,9 = 90%

Oppgave 7:

a)

1)

Funksjonene for de tre kaffemaskinene ser slik ut:

$f_1(x) = 2,71x + 1500 \\ f_1(1000)= 2710+1500 = 4210$

Det koster 4210 kr. å lage 1000 kopper med makin en.

$f_2(x) = 3,12x + 700 \\ f_1(1000)= 3120+700 = 3820$

Det koster 3820 kr. å lage 1000 kopper med makin to.

$f_3(x) = 1,27x + 9000\\ f_1(1000)=1270 +9000 = 10270$

Det koster 10270 kr. å lage 1000 kopper med makin tre.

2)

Vi bruker digitale hjelpemidler og finner at for 10.000 kr. kan man lage:

787 kopper med maskin 3.

2980 kopper med maskin 2.

3136 kopper med maskin 1.

Her runder vi konsekvent ned. Du ønsker en full kopp kaffe!!

b)

Vi fortsetter med de digitale vidunder maskinene og lager grafer som vist i oppgave a. Da finner man at det lønner seg å kjøpe maskin 2 dersom man har planer om å lage mindre enn 1951 kopper kaffe. Dersom man skal lage mellom 1951 og 5208 kopper kaffe er maskin en billigst. Dersom man lager mere enn 5208 kopper kaffe, lønner det seg å kjøpe maskin 3.

c)

I løpet av tre år lages $ 6 \cdot 3 \cdot 365 = 6570 kopper$

Ut fra hva vi fant i b er maskin 3 mest økonomisk Far har rett. (alltid :-) )